XIII.3. Extensions séparables
L’unicité de la décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles implique que α est l’unique racine de f (X), de multiplicité p.
Montrons maintenant que le polynôme f (X) est irréductible. En effet, si
f (X) = g(X)h(X) ∈ K[X], avec g et h polynômes unitaires, d ◦ g(X) < d ◦ f (X) et
d ◦ h(X) < d ◦ f (X), alors, d’après ce qui précède, g(X) = (X − α) s avec 0 < s < p,
d’où α s ∈ K. Mais puisque p est premier et s < p, il existe (u, v) ∈ Z × Z tels que
1 = us + vp, d’où α = α us+vp = (α s ) u (α p ) v = (α s ) u a v ∈ K, i.e. α ∈ K. On peut
donc exprimer α sous la forme α =
m(a)
n(a) , avec m(a) ∈ k[a] et n(a) ∈ k[a], m(a)
et n(a) premiers entre eux. On en déduit que a =
m(a) p
n(a) p , i.e. an(a) p − m(a) p = 0,
d’où la contradiction puisque l’élément a est transcendant sur k.
c) Un élément α d’une extension algébrique K/k est séparable sur k si et
seulement si le nombre de conjugués de α sur k est égal au degré du polynôme
minimal de α sur k.
On a fait au b) ci-dessus une démonstration « à la main », mais on aurait
pu appliquer le critère général suivant, qui est une conséquence immédiate de la
proposition (XI.1.6) : si k est un corps de caractéristique p > 0, un polynôme
irréductible f (X) ∈ k[X] est séparable si et seulement si f (X) ∈ k[X p ].
La proposition (XIII.3) ci-dessous précisera l’ordre de multiplicité des racines
dans le cas des corps de caractéristique p > 0.
Exercice XIII.3. Soient K un corps de caractéristique p et E/K une extension
finie. Montrer que, pour tout élément α de E dont le polynôme minimal M α (X)
n’est pas séparable, le degré [K(α) : K] est divisible par p. En déduire que si
[E : K] est premier avec p, l’extension E/K est séparable.
Proposition XIII.3.1. Soient K/k une extension algébrique, k une clôture algébrique
de K et σ un morphisme de corps de k dans k. Alors le cardinal de l’ensemble S σ
des prolongements de σ à K (i.e. des morphismes de corps de K dans k dont la
restriction à k est σ) est indépendant de σ.
Démonstration. L’isomorphisme σ : k −→ σ(k) se prolonge en un kautomorphisme θ de k (corollaire XII.2.2). Alors l’application λ → θ ◦ λ est une
bijection de l’ensemble des k-morphismes K −→ k dans S σ .
Remarque XIII.3.1.
a) Dans ce qui précède, nous avons considéré les k-morphismes K −→ k, i.e. le
cas où σ est l’inclusion k ⊂ k. Nous avons besoin de faire varier σ pour démontrer
la proposition (XIII.3.3) ci-dessous.
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L’unicité de la décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles implique que α est l’unique racine de f (X), de multiplicité p.
Montrons maintenant que le polynôme f (X) est irréductible. En effet, si
f (X) = g(X)h(X) ∈ K[X], avec g et h polynômes unitaires, d ◦ g(X) < d ◦ f (X) et
d ◦ h(X) < d ◦ f (X), alors, d’après ce qui précède, g(X) = (X − α) s avec 0 < s < p,
d’où α s ∈ K. Mais puisque p est premier et s < p, il existe (u, v) ∈ Z × Z tels que
1 = us + vp, d’où α = α us+vp = (α s ) u (α p ) v = (α s ) u a v ∈ K, i.e. α ∈ K. On peut
donc exprimer α sous la forme α =
m(a)
n(a) , avec m(a) ∈ k[a] et n(a) ∈ k[a], m(a)
et n(a) premiers entre eux. On en déduit que a =
m(a) p
n(a) p , i.e. an(a) p − m(a) p = 0,
d’où la contradiction puisque l’élément a est transcendant sur k.
c) Un élément α d’une extension algébrique K/k est séparable sur k si et
seulement si le nombre de conjugués de α sur k est égal au degré du polynôme
minimal de α sur k.
On a fait au b) ci-dessus une démonstration « à la main », mais on aurait
pu appliquer le critère général suivant, qui est une conséquence immédiate de la
proposition (XI.1.6) : si k est un corps de caractéristique p > 0, un polynôme
irréductible f (X) ∈ k[X] est séparable si et seulement si f (X) ∈ k[X p ].
La proposition (XIII.3) ci-dessous précisera l’ordre de multiplicité des racines
dans le cas des corps de caractéristique p > 0.
Exercice XIII.3. Soient K un corps de caractéristique p et E/K une extension
finie. Montrer que, pour tout élément α de E dont le polynôme minimal M α (X)
n’est pas séparable, le degré [K(α) : K] est divisible par p. En déduire que si
[E : K] est premier avec p, l’extension E/K est séparable.
Proposition XIII.3.1. Soient K/k une extension algébrique, k une clôture algébrique
de K et σ un morphisme de corps de k dans k. Alors le cardinal de l’ensemble S σ
des prolongements de σ à K (i.e. des morphismes de corps de K dans k dont la
restriction à k est σ) est indépendant de σ.
Démonstration. L’isomorphisme σ : k −→ σ(k) se prolonge en un kautomorphisme θ de k (corollaire XII.2.2). Alors l’application λ → θ ◦ λ est une
bijection de l’ensemble des k-morphismes K −→ k dans S σ .
Remarque XIII.3.1.
a) Dans ce qui précède, nous avons considéré les k-morphismes K −→ k, i.e. le
cas où σ est l’inclusion k ⊂ k. Nous avons besoin de faire varier σ pour démontrer
la proposition (XIII.3.3) ci-dessous.
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