Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
Démonstration. Si L et L sont conjugués, il existe un k-automorphisme σ de k tel
que σ(L) = L . On a donc un k-morphisme
s : E E→ k
σ
−→ k
tel que s(L) = L . Puisque E/k est normale, s est un k-automorphisme de
E. Réciproquement, si s est un k-automorphisme de E, il se prolonge en un
k-automorphisme σ de k et si s(L) = L , alors σ(L) = L .
Proposition XIII.2.6. Soient E/k une extension normale, Gal(E/k) son groupe de
Galois, L un corps intermédiaire, k ⊂ L ⊂ E. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) L’extension L/k est normale.
(ii) Pour tout s dans Gal(E/k), s(L) = L.
Démonstration. C’est une conséquence de la remarque (XIII.2.1.a) et de la proposition (XIII.2.5).
XIII.3. Extensions séparables
Définition XIII.3.1. Soit k un corps.
a) Soient f (X) ∈ k[X] un polynôme non constant et K un corps de décomposition de f (X) sur k. On dit que le polynôme f (X) est séparable sur
k s’il n’a que des racines simples dans K.
b) Soient K/k une extension algébrique et α un élément de K. On dit que
α est séparable sur k si son polynôme minimal sur k est séparable sur k.
c) Une extension algébrique K/k est dite séparable si tous les éléments
de K sont séparables sur k.
Exemples XIII.3.1.
a) Si k est un corps de caractéristique nulle, tout polynôme irréductible non
constant de k[X] est séparable sur k (cf. corollaire XI.1.1).
b) Donnons ici un exemple d’un polynôme irréductible non séparable. Soient
p un nombre premier, k = Z/pZ, a un élément transcendant sur k. On pose
K = k(a) et on considère f (X) = X p − a ∈ K[X]. Soient E un corps de décomposition de f (X) sur K et α une racine de f (X) dans E. On a α p = a, d’où, dans
K[X], on a
(X − α)
p = X
p
− α
p = X
p
− a = f (X).
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