XIII.2. Extensions normales
contenue dans Σ. Alors k et Σ sont deux clôtures algébriques de k, donc de K.
D’après le corollaire (XII.2.3), il existe un K-isomorphisme θ : k −→ Σ et, d’après
le théorème (XII.2.3), l’inclusion i : K −→ K se prolonge en un K-morphisme
j : M −→ K. Le morphisme composé θ ◦ j est un K-morphisme de M dans Σ
et, puisque M/k est normale, θ ◦ j(M ) = M . On en déduit que j(M )/k est une
extension normale contenant K, d’où N ⊂ j(M ). Mais, si N était strictement
contenu dans j(M ), alors θ(N ) serait une extension normale de k contenant K
et strictement contenue dans θ ◦ j(M ) = M , ce qui est impossible puisque M
est la plus petite extension normale de k contenant K et contenue dans Σ. Donc
N = j(M ) et M = θ ◦ j(M ) = θ(N ). Ainsi, le K-morphisme θ : k −→ Σ induit
un K-isomorphisme de N sur M .
Proposition XIII.2.4. Soient k un corps, k une clôture algébrique de k et A une
partie de k. Si B est l’ensemble de tous les conjugués sur k des éléments de A,
k(B) est l’extension normale de k engendrée par k(A).
Démonstration. Toute extension normale de k contenant A doit contenir B
(cf. remarque XIII.2.1.b), donc k(B). De plus, k(B) est une extension normale de k, car pour tout k-automorphisme σ de k, on a σ(B) ⊂ B, donc
σ(k(B)) = k(σ(B)) ⊂ k(B). Évidemment k(B) ⊃ k(A). C’est donc l’extension
normale de k engendrée par k(A).
Corollaire XIII.2.1.
(i) Si K/k est une extension algébrique finie, l’extension normale de k engendrée par K est finie sur k.
(ii) Toute extension normale N/k est réunion des sous-corps de N qui sont
des extensions normales finies de k.
Démonstration. (i). On a K = k(A) avec Card(A) < +∞, donc l’ensemble B des
conjugués est fini, puisque les éléments de B ont mêmes polynômes minimaux que
les éléments de A. D’où [k(B) : k] < +∞.
(ii). L’extension N est réunion des k(A), où A parcourt l’ensemble des parties
finies de N . Donc N est réunion des extensions normales de k engendrées par les
k(A) qui, d’après (i), sont finies sur k.
Proposition XIII.2.5. Soient E/k une extension algébrique normale, L et L deux
corps intermédiaires. Les corps L et L sont conjugués si et seulement s’il existe
un k-automorphisme s de E tel que s(L) = L .
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contenue dans Σ. Alors k et Σ sont deux clôtures algébriques de k, donc de K.
D’après le corollaire (XII.2.3), il existe un K-isomorphisme θ : k −→ Σ et, d’après
le théorème (XII.2.3), l’inclusion i : K −→ K se prolonge en un K-morphisme
j : M −→ K. Le morphisme composé θ ◦ j est un K-morphisme de M dans Σ
et, puisque M/k est normale, θ ◦ j(M ) = M . On en déduit que j(M )/k est une
extension normale contenant K, d’où N ⊂ j(M ). Mais, si N était strictement
contenu dans j(M ), alors θ(N ) serait une extension normale de k contenant K
et strictement contenue dans θ ◦ j(M ) = M , ce qui est impossible puisque M
est la plus petite extension normale de k contenant K et contenue dans Σ. Donc
N = j(M ) et M = θ ◦ j(M ) = θ(N ). Ainsi, le K-morphisme θ : k −→ Σ induit
un K-isomorphisme de N sur M .
Proposition XIII.2.4. Soient k un corps, k une clôture algébrique de k et A une
partie de k. Si B est l’ensemble de tous les conjugués sur k des éléments de A,
k(B) est l’extension normale de k engendrée par k(A).
Démonstration. Toute extension normale de k contenant A doit contenir B
(cf. remarque XIII.2.1.b), donc k(B). De plus, k(B) est une extension normale de k, car pour tout k-automorphisme σ de k, on a σ(B) ⊂ B, donc
σ(k(B)) = k(σ(B)) ⊂ k(B). Évidemment k(B) ⊃ k(A). C’est donc l’extension
normale de k engendrée par k(A).
Corollaire XIII.2.1.
(i) Si K/k est une extension algébrique finie, l’extension normale de k engendrée par K est finie sur k.
(ii) Toute extension normale N/k est réunion des sous-corps de N qui sont
des extensions normales finies de k.
Démonstration. (i). On a K = k(A) avec Card(A) < +∞, donc l’ensemble B des
conjugués est fini, puisque les éléments de B ont mêmes polynômes minimaux que
les éléments de A. D’où [k(B) : k] < +∞.
(ii). L’extension N est réunion des k(A), où A parcourt l’ensemble des parties
finies de N . Donc N est réunion des extensions normales de k engendrées par les
k(A) qui, d’après (i), sont finies sur k.
Proposition XIII.2.5. Soient E/k une extension algébrique normale, L et L deux
corps intermédiaires. Les corps L et L sont conjugués si et seulement s’il existe
un k-automorphisme s de E tel que s(L) = L .
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