Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
Proposition XIII.2.2. Soient L/K et K/k des extensions. Si L/k est normale, alors
L/K est normale.
Démonstration. Tout K-morphisme de L dans k est aussi un k-morphisme, donc
un automorphisme de L.
Attention. Avec les notations ci-dessus :
a) L/k normale =⇒ K/k normale.
b) (K/k normale et L/K normale) =⇒ L/k normale.
En effet, considérons les exemples suivants :
a) k = Q, K = Q(
3
√
2), L = Q(
3
√
2, j
3
√
2, j 2 3
√
2).
b) k = Q, K = Q(
√
2), L = Q(
4
√
2). Alors [K : k] = [L : K] = 2, les extensions
K/k et L/K sont donc normales, mais L/k n’est pas normale car L ne contient
pas toutes les racines du polynôme X 4 − 2.
Remarque XIII.2.3. On donnera, à la proposition (XIII.2.6) ci-dessous, sous certaines hypothèses, une condition nécessaire et suffisante pour que L/k normale
implique K/k normale.
Proposition XIII.2.3. Soit K i /k, i ∈ I, une famille d’extensions normales, K i ⊂ k.
Alors
i∈I K i et k
i∈I K i
sont des extensions normales de k.
Démonstration. Soit σ un k-automorphisme de k. Alors σ(K i ) = K i , pour tout
i ∈ I, d’où σ(
i∈I K i ) =
i∈I K i et
i∈I K i est une extension normale de k. On
vérifie que σ(k(
i∈I K i )) = k(
i∈I K i ), d’où k(
i∈I K i ) est normale.
Définition XIII.2.2. Soit K/k une extension algébrique. On appelle extension
normale de k engendrée par K, ou clôture normale de l’extension K/k,
la plus petite extension normale de k (dans k) contenant K.
Remarque XIII.2.4.
a) La remarque qui suit l’exercice XIII.1 et la proposition précédente montrent
que la définition ci-dessus est consistante. Il est clair que la clôture normale de K/k
est l’intersection de toutes les extensions normales de k (dans k) contenant K.
b) Cette clôture normale est indépendante, à K-isomorphisme près, de la
clôture algébrique choisie k. Notons N la clôture normale de K/k contenue dans
k. Soient Σ une autre clôture algébrique de k et M la clôture normale de K/k
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