XIII.2. Extensions normales
La démonstration ci-dessus prouve que (ii) implique (iii). Montrons que (iii)
implique (ii) : soit σ : K −→ k un k-morphisme. Soient α ∈ K et M α (X) son
polynôme minimal. Alors σ(α) est racine de M α (X) donc, par hypothèse (iii),
appartient à K. D’où σ est un k-endomorphisme de K et, d’après la proposition (XI.1.5), est un k-automorphisme de K.
Définition XIII.2.1. Une extension algébrique K/k satisfaisant aux conditions
équivalentes ci-dessus est dite normale.
Exemples XIII.2.1.
a) Un corps de décomposition d’un polynôme irréductible de k[X] est une extension normale de k. Par exemple, une clôture algébrique k de k est une extension
normale de k.
b) Q(
3
√
2, j
3
√
2, j 2 3
√
2) est une extension normale de Q, car corps de décomposition sur Q du polynôme X 3 − 2.
c) Q(
3
√
2) n’est pas une extension normale de Q, car le polynôme minimal de
3
√
2 n’est pas scindé dans Q(
3
√
2).
Remarque XIII.2.1.
a) Une extension K/k est normale si et seulement si elle est identique à toutes
ses conjuguées sur k, en vertu de la proposition (XIII.2.1.(ii)).
b) Si K/k est normale et α ∈ K, tous les conjugués de α appartiennent à K.
Exercice XIII.1.
1. Montrer que toute extension de degré 2 est normale.
2. Soient k un corps, k une clôture algébrique de k et L/k une extension
algébrique de k, L ∈ k. Montrer que k(
σ σ(L)), où σ parcourt l’ensemble des
k-morphismes de L dans k, est une extension normale de k (qui contient L).
Remarque XIII.2.2. On sait que si k est un corps et k est une clôture algébrique
de k, toute extension algébrique L/k se plonge dans k (corollaire XII.2.1). L’exercice XIII.1.2 ci-dessus montre donc que, pour toute extension algébrique L/k, il
existe une extension normale N/k (contenue dans k), avec k ⊂ L ⊂ N (cf. aussi
définition (XIII.2.2) et suivants ci-dessous).
Exercice XIII.2. Soient k ⊂ C un corps et f (X) ∈ k[X] un polynôme irréductible
de degré 3 et de discriminant D = d 2 , d ∈ C (pour la définition du discriminant cf.
l’exercice XII.1). Soit a ∈ C une racine de f (X). Montrer que l’extension k(a)/k
est normale si et seulement si d est dans k. (Indication : on utilisera les résultats
de l’exercice XII.1.)
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La démonstration ci-dessus prouve que (ii) implique (iii). Montrons que (iii)
implique (ii) : soit σ : K −→ k un k-morphisme. Soient α ∈ K et M α (X) son
polynôme minimal. Alors σ(α) est racine de M α (X) donc, par hypothèse (iii),
appartient à K. D’où σ est un k-endomorphisme de K et, d’après la proposition (XI.1.5), est un k-automorphisme de K.
Définition XIII.2.1. Une extension algébrique K/k satisfaisant aux conditions
équivalentes ci-dessus est dite normale.
Exemples XIII.2.1.
a) Un corps de décomposition d’un polynôme irréductible de k[X] est une extension normale de k. Par exemple, une clôture algébrique k de k est une extension
normale de k.
b) Q(
3
√
2, j
3
√
2, j 2 3
√
2) est une extension normale de Q, car corps de décomposition sur Q du polynôme X 3 − 2.
c) Q(
3
√
2) n’est pas une extension normale de Q, car le polynôme minimal de
3
√
2 n’est pas scindé dans Q(
3
√
2).
Remarque XIII.2.1.
a) Une extension K/k est normale si et seulement si elle est identique à toutes
ses conjuguées sur k, en vertu de la proposition (XIII.2.1.(ii)).
b) Si K/k est normale et α ∈ K, tous les conjugués de α appartiennent à K.
Exercice XIII.1.
1. Montrer que toute extension de degré 2 est normale.
2. Soient k un corps, k une clôture algébrique de k et L/k une extension
algébrique de k, L ∈ k. Montrer que k(
σ σ(L)), où σ parcourt l’ensemble des
k-morphismes de L dans k, est une extension normale de k (qui contient L).
Remarque XIII.2.2. On sait que si k est un corps et k est une clôture algébrique
de k, toute extension algébrique L/k se plonge dans k (corollaire XII.2.1). L’exercice XIII.1.2 ci-dessus montre donc que, pour toute extension algébrique L/k, il
existe une extension normale N/k (contenue dans k), avec k ⊂ L ⊂ N (cf. aussi
définition (XIII.2.2) et suivants ci-dessous).
Exercice XIII.2. Soient k ⊂ C un corps et f (X) ∈ k[X] un polynôme irréductible
de degré 3 et de discriminant D = d 2 , d ∈ C (pour la définition du discriminant cf.
l’exercice XII.1). Soit a ∈ C une racine de f (X). Montrer que l’extension k(a)/k
est normale si et seulement si d est dans k. (Indication : on utilisera les résultats
de l’exercice XII.1.)
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