Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
Proposition XIII.1.1. Soient α un élément algébrique sur k et β ∈ Ω. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) β est conjugé de α sur k
(ii) β est racine de M α (X)
(iii) Il existe un k-morphisme σ : k(α) −→ Ω tel que σ(α) = β.
Démonstration. C’est une conséquence évidente des corollaires (XII.1.1)
et (XII.2.2).
XIII.2. Extensions normales
On étudie maintenant une notion intermédiaire entre corps de décomposition
d’un polynôme et corps algébriquement clos.
Proposition XIII.2.1. Soient K/k une extension algébrique, k une clôture algébrique
de k contenant K. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) K est le corps de décomposition sur k d’une famille de polynômes de k[X]
(ii) Tout k-morphisme σ de K dans k est un k-automorphisme de K, i.e.
σ(K) = K
(iii) Tout polynôme irréductible de k[X] qui a une racine dans K est scindé
dans K.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii) : considérons {f i (X)} i∈I une famille de polynômes de k[X] dont K soit un corps de décomposition. Soit
α ∈ K une racine d’un f i (X) ; pour tout k-morphisme σ : K −→ k on a :
0 = σ(f i (α)) = f i (σ(α)). Puisque K est un corps de décomposition des f i (X),
il est engendré par les racines des f i (X), donc σ(K) ⊂ K, i.e. σ est un
k-endomorphisme de K. Mais K/k est algébrique, donc, d’après la proposition (XI.1.5), c’est un k-automorphisme.
Montrons que (ii) implique (i) : soient α ∈ K et M α (X) son polynôme minimal.
Soit β une racine de M α (X) dans k. Alors, d’après la proposition (XII.1.2), il existe
un k-isomorphisme σ : k(α) −→ k(β) tel que σ(α) = β. On a k(α) −→ k(β) −→ k.
Comme k(α) ⊂ K, d’après le théorème (XII.2.3), σ se prolonge en un k-morphisme
σ : K −→ k, qui, par hypothèse (ii), est un k-automorphisme de K. Donc
σ = σ(α) = β ∈ K. Ceci montre que toutes les racines de M α (X) sont dans K.
Ceci est valable pour tous les M α (X), α ∈ K, donc K est un corps de décomposition d’une famille de polynômes de k[X].
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Proposition XIII.1.1. Soient α un élément algébrique sur k et β ∈ Ω. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) β est conjugé de α sur k
(ii) β est racine de M α (X)
(iii) Il existe un k-morphisme σ : k(α) −→ Ω tel que σ(α) = β.
Démonstration. C’est une conséquence évidente des corollaires (XII.1.1)
et (XII.2.2).
XIII.2. Extensions normales
On étudie maintenant une notion intermédiaire entre corps de décomposition
d’un polynôme et corps algébriquement clos.
Proposition XIII.2.1. Soient K/k une extension algébrique, k une clôture algébrique
de k contenant K. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) K est le corps de décomposition sur k d’une famille de polynômes de k[X]
(ii) Tout k-morphisme σ de K dans k est un k-automorphisme de K, i.e.
σ(K) = K
(iii) Tout polynôme irréductible de k[X] qui a une racine dans K est scindé
dans K.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii) : considérons {f i (X)} i∈I une famille de polynômes de k[X] dont K soit un corps de décomposition. Soit
α ∈ K une racine d’un f i (X) ; pour tout k-morphisme σ : K −→ k on a :
0 = σ(f i (α)) = f i (σ(α)). Puisque K est un corps de décomposition des f i (X),
il est engendré par les racines des f i (X), donc σ(K) ⊂ K, i.e. σ est un
k-endomorphisme de K. Mais K/k est algébrique, donc, d’après la proposition (XI.1.5), c’est un k-automorphisme.
Montrons que (ii) implique (i) : soient α ∈ K et M α (X) son polynôme minimal.
Soit β une racine de M α (X) dans k. Alors, d’après la proposition (XII.1.2), il existe
un k-isomorphisme σ : k(α) −→ k(β) tel que σ(α) = β. On a k(α) −→ k(β) −→ k.
Comme k(α) ⊂ K, d’après le théorème (XII.2.3), σ se prolonge en un k-morphisme
σ : K −→ k, qui, par hypothèse (ii), est un k-automorphisme de K. Donc
σ = σ(α) = β ∈ K. Ceci montre que toutes les racines de M α (X) sont dans K.
Ceci est valable pour tous les M α (X), α ∈ K, donc K est un corps de décomposition d’une famille de polynômes de k[X].
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