XIII
EXTENSIONS NORMALES, SÉPARABLES
Ayant trouvé une extension L/K dans laquelle un polynôme f (X) ∈ K[X]
admet une racine, il n’est pas certain que L contienne toutes les racines de f (X).
Par exemple, R ne contient qu’une seule racine du polynôme X 3 − 1 ∈ Q[X]. Pour
pallier cet inconvénient, nous introduisons la notion d’extension normale. Si une
telle extension contient une racine d’un polynôme, elle les contient toutes. De ce
fait, elle a un très bon comportement par rapport à l’action du groupe de Galois.
Cependant, si les racines ne sont pas toutes simples, les corps de décomposition
du polynôme « manquent » de K-automorphismes. Ceci n’est pas le cas lorsque
l’extension est séparable.
Il apparaîtra, au chapitre suivant, que les extensions qui peuvent être étudiées
grâce à leur groupe de Galois sont les extensions normales et séparables.
Toutes les extensions considérées dans ce chapitre
sont algébriques.
XIII.1. Extensions et éléments conjugués
Dans ce paragraphe, on fixe un corps k : on sait (cf. remarque XII.2.3), que
toutes les extensions de k sont plongées dans une extension algébriquement close
Ω de k. Dans toute la suite, on prendra Ω = k.
Définition XIII.1.1. Soient E/k et F/k deux extensions. On dit que E/k et
F/k sont conjuguées dans Ω s’il existe un k-automorphisme σ de Ω tel que
σ(E) = F . Deux éléments α et β de Ω sont conjugués sur k s’il existe un
k-automorphisme σ de Ω tel que σ(α) = β.
EXTENSIONS NORMALES, SÉPARABLES
Ayant trouvé une extension L/K dans laquelle un polynôme f (X) ∈ K[X]
admet une racine, il n’est pas certain que L contienne toutes les racines de f (X).
Par exemple, R ne contient qu’une seule racine du polynôme X 3 − 1 ∈ Q[X]. Pour
pallier cet inconvénient, nous introduisons la notion d’extension normale. Si une
telle extension contient une racine d’un polynôme, elle les contient toutes. De ce
fait, elle a un très bon comportement par rapport à l’action du groupe de Galois.
Cependant, si les racines ne sont pas toutes simples, les corps de décomposition
du polynôme « manquent » de K-automorphismes. Ceci n’est pas le cas lorsque
l’extension est séparable.
Il apparaîtra, au chapitre suivant, que les extensions qui peuvent être étudiées
grâce à leur groupe de Galois sont les extensions normales et séparables.
Toutes les extensions considérées dans ce chapitre
sont algébriques.
XIII.1. Extensions et éléments conjugués
Dans ce paragraphe, on fixe un corps k : on sait (cf. remarque XII.2.3), que
toutes les extensions de k sont plongées dans une extension algébriquement close
Ω de k. Dans toute la suite, on prendra Ω = k.
Définition XIII.1.1. Soient E/k et F/k deux extensions. On dit que E/k et
F/k sont conjuguées dans Ω s’il existe un k-automorphisme σ de Ω tel que
σ(E) = F . Deux éléments α et β de Ω sont conjugués sur k s’il existe un
k-automorphisme σ de Ω tel que σ(α) = β.