Algèbre T1
8. Première identité.
(a) Vérifier que l’identité est vraie à 10 −30 près (utiliser la commande
Digits).
(b) Définir sous Maple
3
√
2 comme racine a de son polynôme minimal sur
Q, puis déterminer le polynôme minimal de b =
3
√
a − 1 sur Q(a) et,
enfin, sur Q. Définir alors directement b sous Maple comme racine d’un
polynôme irréductible de Q[x].
(c) Factoriser le polynôme x 3 − 1/9 dans Q(b)[x] et montrer qu’il possède une
unique racine dans Q(b), notée c. Pourquoi s’agit-il de
3
1/9 ? Exprimer
c comme un polynôme en b. Faire de même avec x 3 − 2/9 et x 3 − 4/9,
dont les racines (uniques) dans Q(b) seront notées d et e respectivement.
(d) Vérifier que 2c 2 = de à l’aide d’une évaluation algébrique. Est-ce étonnant ? Démontrer que b = c − d + e et conclure.
9. Seconde identité.
(a) Vérifier que l’identité est vraie à 10 −30 près.
(b) Définir sous Maple
3
√
5 (resp.
3
√
4) comme racine a (resp. b) de son polynôme minimal sur Q. Vérifier que c = a − b est un élément primitif de
Q(a, b) et calculer son polynôme minimal sur Q.
(c) Calculer le polynôme minimal de d =
√ c sur Q. (On commencera par
déterminer le polynôme minimal sur Q(c).)
(d) Vérifier que x 3 −2 possède une unique racine dans Q(d), notée e. Pourquoi
s’agit-il de
3
√
2 ? Exprimer e comme un polynôme en d. Faire de même
avec x 3 − 20 et x 3 − 25, dont les racines (uniques) dans Q(d) seront notées
f et g respectivement.
(e) Démontrer que d = (e + f − g)/3 et conclure.
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8. Première identité.
(a) Vérifier que l’identité est vraie à 10 −30 près (utiliser la commande
Digits).
(b) Définir sous Maple
3
√
2 comme racine a de son polynôme minimal sur
Q, puis déterminer le polynôme minimal de b =
3
√
a − 1 sur Q(a) et,
enfin, sur Q. Définir alors directement b sous Maple comme racine d’un
polynôme irréductible de Q[x].
(c) Factoriser le polynôme x 3 − 1/9 dans Q(b)[x] et montrer qu’il possède une
unique racine dans Q(b), notée c. Pourquoi s’agit-il de
3
1/9 ? Exprimer
c comme un polynôme en b. Faire de même avec x 3 − 2/9 et x 3 − 4/9,
dont les racines (uniques) dans Q(b) seront notées d et e respectivement.
(d) Vérifier que 2c 2 = de à l’aide d’une évaluation algébrique. Est-ce étonnant ? Démontrer que b = c − d + e et conclure.
9. Seconde identité.
(a) Vérifier que l’identité est vraie à 10 −30 près.
(b) Définir sous Maple
3
√
5 (resp.
3
√
4) comme racine a (resp. b) de son polynôme minimal sur Q. Vérifier que c = a − b est un élément primitif de
Q(a, b) et calculer son polynôme minimal sur Q.
(c) Calculer le polynôme minimal de d =
√ c sur Q. (On commencera par
déterminer le polynôme minimal sur Q(c).)
(d) Vérifier que x 3 −2 possède une unique racine dans Q(d), notée e. Pourquoi
s’agit-il de
3
√
2 ? Exprimer e comme un polynôme en d. Faire de même
avec x 3 − 20 et x 3 − 25, dont les racines (uniques) dans Q(d) seront notées
f et g respectivement.
(e) Démontrer que d = (e + f − g)/3 et conclure.
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