Travaux pratiques
Enfin, écrire une procédure primitif2:=proc(R,a,P) renvoyant, en fonction
de l’extension Q(a, b) définie par P = μ a et R = μ b,Q(a) , un quadruplet
(λ, μ c , a(c), b(c)), où c = b + λa est un élément primitif de polynôme minimal μ c , et a(c), b(c) sont deux polynômes en c correspondant à l’écriture de a
et b dans Q(c) respectivement. (Attention, les alias(RootOf) ne fonctionnent
pas à l’intérieur d’une procédure : il faut se contenter d’un RootOf.) Tester en
comparant avec le résultat de la commande
evala(Primfield({a,RootOf(R,x)}))
de Maple.
7. Le problème de la détermination d’un élément primitif se pose parfois, dans
la pratique, en les termes suivants : on se donne deux éléments de Q(c), définis comme des polynômes U (c) et V (c), et il s’agit de déterminer un élément primitif W (c) de Q(U (c), V (c))/Q. On cherche alors W sous la forme
W = U + λV et l’on remarque que W (c) convient si et seulement si V (c) appartient à Q(W (c)). C’est un problème d’algèbre linéaire : notant [Q(c) : Q] = n,
on écrit V (c) dans la base (1, c, . . . , c n−1 ) (on obtient un vecteur v) ainsi que la
matrice M dont les vecteurs colonnes sont les W (c) i , 0 i n−1 (ces derniers
engendrent Q(W (c)) qui est de dimension au plus n sur Q). La condition revient à vérifier que la matrice augmentée (en notation Maple) a même
rang que M , ce que l’on réalise avec la commande LinearAlgebra[Rank].
Traiter l’exemple
μ c = x
6
− 12x
4 + 36x
2 + 76,
U (c) = 4/9 + c/2 − 5c
2 /18 + c
4 /36, V (c) = −8/9 + 5c
2 /9 − 1/18c
4 ,
en essayant λ = 1, puis 2. Enfin, écrire une procédure
primitif3:=proc(H,c,U,V)
renvoyant (λ, μ W ) en fonction de c, de polynôme minimal μ c = H, U et V .
Identités remarquables de Ramanujan
On désire vérifier les deux identités suivantes, observées par le mathématicien
Ramanujan :
3
3
√
2 − 1 =
3
1/9 −
3
2/9 +
3
4/9,
(XII.1)
3
√
5 −
3
√
4 = (
3
√
2 +
3
√
20 −
3
√
25)/3.
(XII.2)
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