Algèbre T1
5. On va automatiser cela : avec les notations de la question précédente, démontrer que c est primitif si et seulement si N est sans facteur carré. En déduire
une procédure primitif:=proc(R,a,P) renvoyant un couple (λ, μ) tel que
b + λa soit un élément primitif de polynôme minimal μ sur Q. Tester avec
P = x 3 − 2x + 2 et R le facteur de degré 2 obtenu en décomposant P sur Q(a).
En déduire un élément primitif du corps de décomposition de P .
On désire maintenant exprimer a et b en fonction d’un élément primitif
c = b + λa de Q(a, b), connaissant les polynômes minimaux μ a et μ b , et λ ayant
été déterminé par la méthode exposée précédemment.
Proposition 1. Avec les notations précédentes (et λ = 0), on a
x − a = pgcd(μ a , μ b (c − λx)).
On obtient donc a en prenant l’opposé du coefficient constant de
pgcd(μ a , μ b (c − λx)), ce pgcd (unitaire) étant calculé dans Q(c)[x].
Démonstration. Écrivons la décomposition en irréductibles μ b = P 1 . . . P r dans
Q(a)[x] et supposons que b soit racine de P 1 . Alors μ c est de degré mn, où
l’on a posé m = deg μ a et n = deg P 1 . Sur C, les polynômes se scindent en
μ a =
m
i=1 (x − a i ) et P 1 =
n
j=1 (x − b 1,j ) et l’on peut supposer que a = a 1 et
b = b 1,1 .
Soit σ i : Q(a) → C les m plongements définis par σ i (a) = a i ; le polynôme σ i P 1 obtenu en appliquant σ i aux coefficients de P 1 se décompose sur C
en σ i P 1 =
n
j=1 (x − b i,j ), tous les b i,j étant distincts deux à deux car μ b est à
racines simples. On a alors mn plongements Q(c) = Q(a, b) → C qui peuvent être
définis par σ i,j (a) = a i et σ i,j (b) = b i,j . Ils sont deux à deux distincts, donc aussi
les conjugués σ i,j (c) = b i,j + λa i .
Revenons à pgcd(μ a , μ b (c−λx)) : ses racines sont parmi les a i . Or a i est racine
de μ b (c − λx) si et seulement si c − λa i est racine de μ b . De plus, c n’est égal à
b i,j + λa i que pour a i = a (et b i,j = b). Le pgcd vaut donc x − a.
6. Mener les calculs sur l’exemple de la question 3 (b), lorsque Q(a, b) = Q(c)
est de degré 6 sur Q. On exprimera a et b comme des polynômes en c. Vérifier
numériquement que les différentes approximations complexes de a = a(c),
obtenues lorsque c décrit les racines de son polynôme minimal μ c , coïncident
avec les valeurs des racines de μ a .
Effectuer également une vérification de type algébrique : décomposer P sur
Q(c), vérifier que a(c) est racine et que le produit des deux autres facteurs de
degré 1 (ce polynôme s’avère scindé) coïncide avec le facteur indécomposable
de degré 2 sur Q(a).
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5. On va automatiser cela : avec les notations de la question précédente, démontrer que c est primitif si et seulement si N est sans facteur carré. En déduire
une procédure primitif:=proc(R,a,P) renvoyant un couple (λ, μ) tel que
b + λa soit un élément primitif de polynôme minimal μ sur Q. Tester avec
P = x 3 − 2x + 2 et R le facteur de degré 2 obtenu en décomposant P sur Q(a).
En déduire un élément primitif du corps de décomposition de P .
On désire maintenant exprimer a et b en fonction d’un élément primitif
c = b + λa de Q(a, b), connaissant les polynômes minimaux μ a et μ b , et λ ayant
été déterminé par la méthode exposée précédemment.
Proposition 1. Avec les notations précédentes (et λ = 0), on a
x − a = pgcd(μ a , μ b (c − λx)).
On obtient donc a en prenant l’opposé du coefficient constant de
pgcd(μ a , μ b (c − λx)), ce pgcd (unitaire) étant calculé dans Q(c)[x].
Démonstration. Écrivons la décomposition en irréductibles μ b = P 1 . . . P r dans
Q(a)[x] et supposons que b soit racine de P 1 . Alors μ c est de degré mn, où
l’on a posé m = deg μ a et n = deg P 1 . Sur C, les polynômes se scindent en
μ a =
m
i=1 (x − a i ) et P 1 =
n
j=1 (x − b 1,j ) et l’on peut supposer que a = a 1 et
b = b 1,1 .
Soit σ i : Q(a) → C les m plongements définis par σ i (a) = a i ; le polynôme σ i P 1 obtenu en appliquant σ i aux coefficients de P 1 se décompose sur C
en σ i P 1 =
n
j=1 (x − b i,j ), tous les b i,j étant distincts deux à deux car μ b est à
racines simples. On a alors mn plongements Q(c) = Q(a, b) → C qui peuvent être
définis par σ i,j (a) = a i et σ i,j (b) = b i,j . Ils sont deux à deux distincts, donc aussi
les conjugués σ i,j (c) = b i,j + λa i .
Revenons à pgcd(μ a , μ b (c−λx)) : ses racines sont parmi les a i . Or a i est racine
de μ b (c − λx) si et seulement si c − λa i est racine de μ b . De plus, c n’est égal à
b i,j + λa i que pour a i = a (et b i,j = b). Le pgcd vaut donc x − a.
6. Mener les calculs sur l’exemple de la question 3 (b), lorsque Q(a, b) = Q(c)
est de degré 6 sur Q. On exprimera a et b comme des polynômes en c. Vérifier
numériquement que les différentes approximations complexes de a = a(c),
obtenues lorsque c décrit les racines de son polynôme minimal μ c , coïncident
avec les valeurs des racines de μ a .
Effectuer également une vérification de type algébrique : décomposer P sur
Q(c), vérifier que a(c) est racine et que le produit des deux autres facteurs de
degré 1 (ce polynôme s’avère scindé) coïncide avec le facteur indécomposable
de degré 2 sur Q(a).
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