Travaux pratiques
Il est possible de mener des calculs dans Q(a, b) Q(a)[x]/(R) : tester
evala(a^7*b^3) et vérifier que le polynôme en b obtenu, à coefficients dans
Q(a), correspond au reste de la division euclidienne de a 7 x 3 par R dans Q(a)[x].
Autour du théorème de l’élément primitif
Le théorème suivant sera démontré au chapitre XIII :
Théorème 1. Toute extension finie L/Q admet un élément primitif c (i.e.
L = Q(c)).
Ainsi, pour a et b deux nombres algébriques (de degrés respectifs m et n sur
Q), l’extension Q(a, b)/Q est monogène. Mieux encore, on démontre que l’on peut
prendre c = b + λa, avec λ un entier tel que 1 λ (m − 1)(n − 1) + 1. Le
théorème en découle, par récurrence.
3. (a) Définir a =
√
2 et b =
√
3 à l’aide de la commande RootOf. Quel est le
degré de Q(a, b) sur Q ?
(b) Soit a une racine de P = x 3 +x+1 et b une racine de Q = x 3 −x 2 +4x−3.
Factoriser Q dans Q(a)[x]. De quel facteur a est-il racine ? On constatera
qu’il y a, en fait, deux choix possibles, qui conduisent à des extensions
Q(a, b) = (Q(a))(b) de degrés sur Q différents. En d’autre termes, les polynômes minimaux de a et de b ne déterminent pas l’extension Q(a, b)/Q.
Si l’on suppose de plus que a et b sont réels, de quel facteur s’agit-il ?
Une façon de s’en sortir est de recourir à des méthodes numériques :
évaluer chaque facteur en des approximations numériques de a (parmi
evalf(allvalues(a))) et b. En déduire le degré de Q(a, b)/Q dans ce
cas précis.
Remarque. On peut aussi préciser le choix de la racine directement au
niveau du RootOf grâce à l’option index=, ce qui permet l’évaluation
numérique via evalf a posteriori. Cependant, on se gardera de procéder
ainsi systématiquement, car le recours à des méthodes numériques n’est
qu’occasionnel.
4. On va maintenant déterminer le polynôme minimal sur Q d’un élément
c = b + λa, λ ∈ Q, en fonction des polynômes minimaux P = μ a de a sur
Q et R = μ b,Q(a) de b sur Q(a), ce qui définit bien l’extension Q(a, b)/Q. Démontrer que la norme (voir TP.XI) N = N Q(a)/Q (P (x−λa)) est un multiple du
polynôme minimal μ c de c sur Q. (On utilisera la proposition 4 du TP.XI). En
déduire une procédure minimal2:=proc(lambda,R,a,P) renvoyant μ c . L’appliquer aux deux exemples de la question 3, afin de déterminer des éléments
primitifs.
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Il est possible de mener des calculs dans Q(a, b) Q(a)[x]/(R) : tester
evala(a^7*b^3) et vérifier que le polynôme en b obtenu, à coefficients dans
Q(a), correspond au reste de la division euclidienne de a 7 x 3 par R dans Q(a)[x].
Autour du théorème de l’élément primitif
Le théorème suivant sera démontré au chapitre XIII :
Théorème 1. Toute extension finie L/Q admet un élément primitif c (i.e.
L = Q(c)).
Ainsi, pour a et b deux nombres algébriques (de degrés respectifs m et n sur
Q), l’extension Q(a, b)/Q est monogène. Mieux encore, on démontre que l’on peut
prendre c = b + λa, avec λ un entier tel que 1 λ (m − 1)(n − 1) + 1. Le
théorème en découle, par récurrence.
3. (a) Définir a =
√
2 et b =
√
3 à l’aide de la commande RootOf. Quel est le
degré de Q(a, b) sur Q ?
(b) Soit a une racine de P = x 3 +x+1 et b une racine de Q = x 3 −x 2 +4x−3.
Factoriser Q dans Q(a)[x]. De quel facteur a est-il racine ? On constatera
qu’il y a, en fait, deux choix possibles, qui conduisent à des extensions
Q(a, b) = (Q(a))(b) de degrés sur Q différents. En d’autre termes, les polynômes minimaux de a et de b ne déterminent pas l’extension Q(a, b)/Q.
Si l’on suppose de plus que a et b sont réels, de quel facteur s’agit-il ?
Une façon de s’en sortir est de recourir à des méthodes numériques :
évaluer chaque facteur en des approximations numériques de a (parmi
evalf(allvalues(a))) et b. En déduire le degré de Q(a, b)/Q dans ce
cas précis.
Remarque. On peut aussi préciser le choix de la racine directement au
niveau du RootOf grâce à l’option index=, ce qui permet l’évaluation
numérique via evalf a posteriori. Cependant, on se gardera de procéder
ainsi systématiquement, car le recours à des méthodes numériques n’est
qu’occasionnel.
4. On va maintenant déterminer le polynôme minimal sur Q d’un élément
c = b + λa, λ ∈ Q, en fonction des polynômes minimaux P = μ a de a sur
Q et R = μ b,Q(a) de b sur Q(a), ce qui définit bien l’extension Q(a, b)/Q. Démontrer que la norme (voir TP.XI) N = N Q(a)/Q (P (x−λa)) est un multiple du
polynôme minimal μ c de c sur Q. (On utilisera la proposition 4 du TP.XI). En
déduire une procédure minimal2:=proc(lambda,R,a,P) renvoyant μ c . L’appliquer aux deux exemples de la question 3, afin de déterminer des éléments
primitifs.
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