Algèbre T1
de rupture. Préciser de quelle racine il s’agit par alias(a=RootOf(P,x,index=i))
n’influe pas sur ces algorithmes algébriques.
Les calculs sur les polynômes à coefficients dans Q(a) s’effectuent comme
suit : evala(Quo(A,B,x)) et evala(Rem(A,B,x)) pour le quotient et le reste,
evala(Gcd(A,B)) pour le calcul du pgcd.
Un corps de décomposition n’est pas unique à isomorphisme unique près, aussi
doit-on parler d’« un » corps de décomposition. Par contre, lorsque l’on fixe une
clôture algébrique (par exemple C) dans laquelle P est scindé, c’est le sous-corps
engendré par le corps de base et les racines de P . Aussi peut-on parler « du »
corps de décomposition de P , puisque Maple possède un algorithme numérique de
calcul d’approximation des racines (commande evalf(allvalues(a))) et ordonne
les racines à partir d’un ordre sur C qui est donc en arrière-plan. Par contre, on
dira que Q[x]/(Q) est « un » corps de décomposition de P (si c’est le cas), puisqu’il
n’est pas fait référence à C.
1. a) Prenons P = x 3 + 2x 2 − x − 1. Tester l’irréductibilité de P sur Q et vérifier
que tout corps de rupture de P est également corps de décomposition. Les
racines de P s’expriment donc comme des polynômes en l’une quelconque
d’entre elles. On dit que le polynôme irréductible P est normal.
b) Décomposer P = x 3 +7x 2 +19x+21 sur Q. En déduire un corps de rupture
et le corps de décomposition. Décomposer également P sur Q(i) et Q(i
√
3)
(où C = R(i), i 2 = −1). Que dire de ces deux corps par rapport à P ?
Décrire un isomorphisme Q[x]/(x 2 + 3)
∼
→ Q[x]/(x 2 + 4x + 7) entre les deux
corps de décomposition (il y a deux tels isomorphismes).
2. Soient P = x 3 − 2x + 2 et a une racine de P . Vérifier que la liste des facteurs
de la décomposition en irréductibles de P dans Q(a)[x] contient un élément
R de degré 2 et définir sous Maple une racine b de ce facteur (la commande
op([2,i,1],factors(P,a)) permet d’obtenir le i-ième facteur, mais attention, l’ordre des facteurs diffère a priori à chaque appel de la commande
factors ; se rappeler qu’un algorithme probabiliste se cache derrière cette
commande).
Décomposer P dans Q(a, b)[x] à l’aide de la commande factor(P,{a,b}). En
déduire le degré sur Q du corps de décomposition de P . Vérifier que ce degré
divise deg(P )! (cf. exercice XII.1). Enfin, tester la ligne suivante :
> PolynomialTools[Split](P,x,’r’); r;
Maple sait donc déterminer un corps de décomposition, du moins pour des
polynômes de bas degré.
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de rupture. Préciser de quelle racine il s’agit par alias(a=RootOf(P,x,index=i))
n’influe pas sur ces algorithmes algébriques.
Les calculs sur les polynômes à coefficients dans Q(a) s’effectuent comme
suit : evala(Quo(A,B,x)) et evala(Rem(A,B,x)) pour le quotient et le reste,
evala(Gcd(A,B)) pour le calcul du pgcd.
Un corps de décomposition n’est pas unique à isomorphisme unique près, aussi
doit-on parler d’« un » corps de décomposition. Par contre, lorsque l’on fixe une
clôture algébrique (par exemple C) dans laquelle P est scindé, c’est le sous-corps
engendré par le corps de base et les racines de P . Aussi peut-on parler « du »
corps de décomposition de P , puisque Maple possède un algorithme numérique de
calcul d’approximation des racines (commande evalf(allvalues(a))) et ordonne
les racines à partir d’un ordre sur C qui est donc en arrière-plan. Par contre, on
dira que Q[x]/(Q) est « un » corps de décomposition de P (si c’est le cas), puisqu’il
n’est pas fait référence à C.
1. a) Prenons P = x 3 + 2x 2 − x − 1. Tester l’irréductibilité de P sur Q et vérifier
que tout corps de rupture de P est également corps de décomposition. Les
racines de P s’expriment donc comme des polynômes en l’une quelconque
d’entre elles. On dit que le polynôme irréductible P est normal.
b) Décomposer P = x 3 +7x 2 +19x+21 sur Q. En déduire un corps de rupture
et le corps de décomposition. Décomposer également P sur Q(i) et Q(i
√
3)
(où C = R(i), i 2 = −1). Que dire de ces deux corps par rapport à P ?
Décrire un isomorphisme Q[x]/(x 2 + 3)
∼
→ Q[x]/(x 2 + 4x + 7) entre les deux
corps de décomposition (il y a deux tels isomorphismes).
2. Soient P = x 3 − 2x + 2 et a une racine de P . Vérifier que la liste des facteurs
de la décomposition en irréductibles de P dans Q(a)[x] contient un élément
R de degré 2 et définir sous Maple une racine b de ce facteur (la commande
op([2,i,1],factors(P,a)) permet d’obtenir le i-ième facteur, mais attention, l’ordre des facteurs diffère a priori à chaque appel de la commande
factors ; se rappeler qu’un algorithme probabiliste se cache derrière cette
commande).
Décomposer P dans Q(a, b)[x] à l’aide de la commande factor(P,{a,b}). En
déduire le degré sur Q du corps de décomposition de P . Vérifier que ce degré
divise deg(P )! (cf. exercice XII.1). Enfin, tester la ligne suivante :
> PolynomialTools[Split](P,x,’r’); r;
Maple sait donc déterminer un corps de décomposition, du moins pour des
polynômes de bas degré.
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