TRAVAUX PRATIQUES
TP.XII. Calculs dans les corps de nombres
Ce TP fait suite au TP.XI et poursuit l’étude des corps de nombres, c’est-àdire des extensions finies de Q. On commence par illustrer la notion de corps de
rupture et de corps de décomposition, puis on s’intéresse à des extensions Q(a, b).
Par exemple, comment trouver le polynôme minimal de b+λa, λ ∈ Q, à partir des
polynômes minimaux de a et b ? On y répond en utilisant la norme, dont il a été
question au sein du TP.XI. Cela permet de donner un algorithme de détermination
d’un élément primitif de l’extension Q(a, b)/Q. Pour finir, on démontre certaines
identités algébriques remarquables dues à Ramanujan, en calculant dans des corps
de nombres.
Corps de rupture, corps de décomposition
Soient P ∈ Q[x] et Q(a) l’extension de Q définie par une racine a d’un polynôme irréductible Q ∈ Q[x]. A une constante près, Q est le polynôme minimal
μ a de a sur Q et Q(a) Q[x]/(Q). Après avoir défini algébriquement a par
alias(a=RootOf(Q,x)) sous Maple, la commande factor(P,a) donne la factorisation de P , dans Q(a)[x], en produit de polynômes irréductibles. On obtient
la liste des facteurs (avec multiplicités) par factors(P,a) et la liste des racines
(avec multiplicités) de P dans Q(a) par roots(P,a). Les commandes factor(P),
factors(P) et root(P) ont trait à la décomposition et aux racines sur Q.
Si P est irréductible et si l’on prend Q = P , le corps Q(a) est un corps de
rupture de P . Il y a autant de tels corps que de racines complexes de P , mais la
« définition » alias(a=RootOf(P,x)) ne tient compte que de P . Comme on l’a
vu, l’évaluation algébrique dans Q(a) est équivalente à calculer dans Q[x]/(P ), la
racine a correspondant à la classe de x modulo P . C’est la construction du corps
TP.XII. Calculs dans les corps de nombres
Ce TP fait suite au TP.XI et poursuit l’étude des corps de nombres, c’est-àdire des extensions finies de Q. On commence par illustrer la notion de corps de
rupture et de corps de décomposition, puis on s’intéresse à des extensions Q(a, b).
Par exemple, comment trouver le polynôme minimal de b+λa, λ ∈ Q, à partir des
polynômes minimaux de a et b ? On y répond en utilisant la norme, dont il a été
question au sein du TP.XI. Cela permet de donner un algorithme de détermination
d’un élément primitif de l’extension Q(a, b)/Q. Pour finir, on démontre certaines
identités algébriques remarquables dues à Ramanujan, en calculant dans des corps
de nombres.
Corps de rupture, corps de décomposition
Soient P ∈ Q[x] et Q(a) l’extension de Q définie par une racine a d’un polynôme irréductible Q ∈ Q[x]. A une constante près, Q est le polynôme minimal
μ a de a sur Q et Q(a) Q[x]/(Q). Après avoir défini algébriquement a par
alias(a=RootOf(Q,x)) sous Maple, la commande factor(P,a) donne la factorisation de P , dans Q(a)[x], en produit de polynômes irréductibles. On obtient
la liste des facteurs (avec multiplicités) par factors(P,a) et la liste des racines
(avec multiplicités) de P dans Q(a) par roots(P,a). Les commandes factor(P),
factors(P) et root(P) ont trait à la décomposition et aux racines sur Q.
Si P est irréductible et si l’on prend Q = P , le corps Q(a) est un corps de
rupture de P . Il y a autant de tels corps que de racines complexes de P , mais la
« définition » alias(a=RootOf(P,x)) ne tient compte que de P . Comme on l’a
vu, l’évaluation algébrique dans Q(a) est équivalente à calculer dans Q[x]/(P ), la
racine a correspondant à la classe de x modulo P . C’est la construction du corps