Algèbre T1
1. Montrer que pour tout K-espace vectoriel G et toute application K-bilinéaire
f : E × F −→ G, il existe une unique application K-linéaire g : E ⊗ F −→ G telle
que f = g ◦ ϕ.
D’après l’unicité de la solution d’un problème universel, le problème universel
précédent caractérise le produit tensoriel de deux K-modules.
2. Montrer que si B E = {e i } i∈I et B F = {f j } j∈J sont des bases des K-espaces
vectoriels E et F respectivement, alors {e i ⊗ f j } (i,j)∈I×J est une base de E ⊗ F .
On en déduit que si x =
i a i e i et y =
j b j f j sont des éléments de E et
F respectivement (les coefficients a i et b j sont nuls, sauf un nombre fini d’entre
eux), on a x ⊗ y =
i,j (a i b j )(e i ⊗ f j ).
3. Montrer que l’application définie par x ⊗ y → y ⊗ x est un isomorphisme de
K-espaces vectoriels de E ⊗ F sur F ⊗ E.
4. Montrer que les K-espaces vectoriels E ⊗ (F ⊗ G) et (E ⊗ F ) ⊗ G sont canoniquement isomorphes.
5. Montrer que les K-espaces vectoriels E ⊗ K K et E sont canoniquement isomorphes.
On suppose maintenant que E et F sont des K-algèbres associatives, commutatives, unitaires. On remarquera qu’en identifiant, au moyen des morphismes
structuraux, K à une sous-algèbre de E et F respectivement, on peut supposer
que l’élément unité de K est aussi l’élément unité commun de E et F .
6. Montrer que le K-espace vectoriel E ⊗ F , muni de la multiplication définie
par (x ⊗ y)(x ⊗ y ) = xx ⊗ yy , que l’on étend linéairement, est une K-algèbre
associative, commutative, dont l’unité est 1 ⊗ 1.
7. Montrer que l’application x → x ⊗ 1 (resp. y → 1 ⊗ y) est un isomorphisme de
E (resp. F ) sur une sous-algèbre E 1 (resp F 1 ) de E ⊗ F .
Produits tensoriels infinis
On considère une famille quelconque (E i ) i∈I de K-espaces vectoriels. On définit le produit tensoriel
i∈I E i comme le quotient du K-espace vectoriel des
combinaisons linéaires formelles d’éléments de
i∈I E i , à coefficients dans K, par
le sous-espace vectoriel engendré par les éléments du type suivant :
a) (x i ) + (y i ) − (z i ), avec x l + y l = z l pour un indice l arbitraire et x i = y i = z i
pour tout i = l.
b) (x i ) − k(y i ), avec k ∈ K et x l = ky l pour un indice arbitraire l et x i = y i
pour tout i = l.
On désigne par ϕ l’application multilinéaire
i∈I E i −→
i∈I E i définie par
(x i ) → ⊗ i∈I x i .
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1. Montrer que pour tout K-espace vectoriel G et toute application K-bilinéaire
f : E × F −→ G, il existe une unique application K-linéaire g : E ⊗ F −→ G telle
que f = g ◦ ϕ.
D’après l’unicité de la solution d’un problème universel, le problème universel
précédent caractérise le produit tensoriel de deux K-modules.
2. Montrer que si B E = {e i } i∈I et B F = {f j } j∈J sont des bases des K-espaces
vectoriels E et F respectivement, alors {e i ⊗ f j } (i,j)∈I×J est une base de E ⊗ F .
On en déduit que si x =
i a i e i et y =
j b j f j sont des éléments de E et
F respectivement (les coefficients a i et b j sont nuls, sauf un nombre fini d’entre
eux), on a x ⊗ y =
i,j (a i b j )(e i ⊗ f j ).
3. Montrer que l’application définie par x ⊗ y → y ⊗ x est un isomorphisme de
K-espaces vectoriels de E ⊗ F sur F ⊗ E.
4. Montrer que les K-espaces vectoriels E ⊗ (F ⊗ G) et (E ⊗ F ) ⊗ G sont canoniquement isomorphes.
5. Montrer que les K-espaces vectoriels E ⊗ K K et E sont canoniquement isomorphes.
On suppose maintenant que E et F sont des K-algèbres associatives, commutatives, unitaires. On remarquera qu’en identifiant, au moyen des morphismes
structuraux, K à une sous-algèbre de E et F respectivement, on peut supposer
que l’élément unité de K est aussi l’élément unité commun de E et F .
6. Montrer que le K-espace vectoriel E ⊗ F , muni de la multiplication définie
par (x ⊗ y)(x ⊗ y ) = xx ⊗ yy , que l’on étend linéairement, est une K-algèbre
associative, commutative, dont l’unité est 1 ⊗ 1.
7. Montrer que l’application x → x ⊗ 1 (resp. y → 1 ⊗ y) est un isomorphisme de
E (resp. F ) sur une sous-algèbre E 1 (resp F 1 ) de E ⊗ F .
Produits tensoriels infinis
On considère une famille quelconque (E i ) i∈I de K-espaces vectoriels. On définit le produit tensoriel
i∈I E i comme le quotient du K-espace vectoriel des
combinaisons linéaires formelles d’éléments de
i∈I E i , à coefficients dans K, par
le sous-espace vectoriel engendré par les éléments du type suivant :
a) (x i ) + (y i ) − (z i ), avec x l + y l = z l pour un indice l arbitraire et x i = y i = z i
pour tout i = l.
b) (x i ) − k(y i ), avec k ∈ K et x l = ky l pour un indice arbitraire l et x i = y i
pour tout i = l.
On désigne par ϕ l’application multilinéaire
i∈I E i −→
i∈I E i définie par
(x i ) → ⊗ i∈I x i .
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