THÈMES DE RÉFLEXION
♠ TR.XII. Plongements dans une clôture algébrique
L’objectif de ce TR est de démontrer le résultat annoncé à la remarque (XII.2.3) ci-dessus, i.e. pour toute famille donnée d’extensions E i /K,
il existe une extension E/K telle que, pour tout i ∈ I, E i s’identifie à une sousextension de E.
Pour cela, nous sommes amenés à introduire la notion de produit tensoriel de
K-espaces vectoriels et de K-algèbres. Cette notion, capitale en mathématiques,
est définie pour les modules sur un anneau, mais, pour simplifier notre propos,
nous ne l’étudierons que dans le cadre des espaces vectoriels et des algèbres sur
un corps commutatif.
Dans tout ce qui suit, K est un corps commutatif.
Produit tensoriel de deux K-espaces vectoriels
et de deux K-algèbres
Soient E et F deux K-espaces vectoriels : le produit tensoriel de E et F
est le K-espace vectoriel engendré par les éléments x ⊗ y, x ∈ E, y ∈ F , soumis
aux relations
(x + x ) ⊗ y − x ⊗ y − x ⊗ y,
x ⊗ (y + y ) − x ⊗ y − x ⊗ y ,
k(x ⊗ y) − kx ⊗ y,
k(x ⊗ y) − x ⊗ ky,
avec x, x ∈ E, y, y ∈ F , k ∈ K.
On le note E ⊗ F , ou E ⊗ K F si l’on veut spécifier le corps de base.
On définit une application ϕ : E × F −→ E ⊗ F par ϕ(x, y) = x ⊗ y, x ∈ E,
y ∈ F . Nous allons montrer que le couple (E ⊗ F, ϕ) est solution d’un problème
universel.
♠ TR.XII. Plongements dans une clôture algébrique
L’objectif de ce TR est de démontrer le résultat annoncé à la remarque (XII.2.3) ci-dessus, i.e. pour toute famille donnée d’extensions E i /K,
il existe une extension E/K telle que, pour tout i ∈ I, E i s’identifie à une sousextension de E.
Pour cela, nous sommes amenés à introduire la notion de produit tensoriel de
K-espaces vectoriels et de K-algèbres. Cette notion, capitale en mathématiques,
est définie pour les modules sur un anneau, mais, pour simplifier notre propos,
nous ne l’étudierons que dans le cadre des espaces vectoriels et des algèbres sur
un corps commutatif.
Dans tout ce qui suit, K est un corps commutatif.
Produit tensoriel de deux K-espaces vectoriels
et de deux K-algèbres
Soient E et F deux K-espaces vectoriels : le produit tensoriel de E et F
est le K-espace vectoriel engendré par les éléments x ⊗ y, x ∈ E, y ∈ F , soumis
aux relations
(x + x ) ⊗ y − x ⊗ y − x ⊗ y,
x ⊗ (y + y ) − x ⊗ y − x ⊗ y ,
k(x ⊗ y) − kx ⊗ y,
k(x ⊗ y) − x ⊗ ky,
avec x, x ∈ E, y, y ∈ F , k ∈ K.
On le note E ⊗ F , ou E ⊗ K F si l’on veut spécifier le corps de base.
On définit une application ϕ : E × F −→ E ⊗ F par ϕ(x, y) = x ⊗ y, x ∈ E,
y ∈ F . Nous allons montrer que le couple (E ⊗ F, ϕ) est solution d’un problème
universel.