Chapitre XII. Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
On applique le théorème (XII.2.3) : alors E −→ F −→ K se prolonge en
K
˜
f
− −−− → K.
Puisque K/K est algébrique, ˜
f est un automorphisme (d’après la proposition (XI.1.5)).
Corollaire XII.2.3. Deux clôtures algébriques d’un corps sont isomorphes.
Démonstration. Soit Ω une clôture algébrique de K : l’extension Ω/K étant algébrique, d’après le théorème (XII.2.3), il existe un K-morphisme s : Ω −→ K tel
que s(Ω) Ω. Donc s(Ω) est algébriquement clos. On en déduit que K est une
extension algébriquement close de s(Ω), donc K = s(Ω).
Proposition XII.2.3. Soient K un corps, L/K une extension algébrique, K une
clôture algébrique de K et L une clôture algébrique de L. Alors K et L sont
K-isomorphes.
Démonstration. On a K ⊂ L ⊂ L et L/L est algébrique. Donc L/K est algébrique
et, puisque L est un corps algébriquement clos, L est une clôture algébrique de
K. D’après le corollaire (XII.2.3), K et L sont K-isomorphes.
Remarques XII.2.4.
a) Il n’y a pas, en général, unicité de l’isomorphisme du corollaire XII.2.3. On
ne doit donc pas parler de LA clôture algébrique d’un corps, mais d’UNE clôture
algébrique.
b) Soient K un corps et E i /K, i ∈ I, une famille quelconque d’extensions.
On démontrera au TR.XII ci-après qu’il existe une extension E/K telle que, pour
tout i ∈ I, E i s’identifie à une sous-extension de E, i.e. il existe un K-morphisme
injectif u i : E i −→ E. En considérant une clôture algébrique E de E, on en
déduit que, pour toute famille donnée d’extensions E i /K, les E i , i ∈ I, peuvent
être considérés comme des sous-corps d’une extension algébriquement close de K.
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On applique le théorème (XII.2.3) : alors E −→ F −→ K se prolonge en
K
˜
f
− −−− → K.
Puisque K/K est algébrique, ˜
f est un automorphisme (d’après la proposition (XI.1.5)).
Corollaire XII.2.3. Deux clôtures algébriques d’un corps sont isomorphes.
Démonstration. Soit Ω une clôture algébrique de K : l’extension Ω/K étant algébrique, d’après le théorème (XII.2.3), il existe un K-morphisme s : Ω −→ K tel
que s(Ω) Ω. Donc s(Ω) est algébriquement clos. On en déduit que K est une
extension algébriquement close de s(Ω), donc K = s(Ω).
Proposition XII.2.3. Soient K un corps, L/K une extension algébrique, K une
clôture algébrique de K et L une clôture algébrique de L. Alors K et L sont
K-isomorphes.
Démonstration. On a K ⊂ L ⊂ L et L/L est algébrique. Donc L/K est algébrique
et, puisque L est un corps algébriquement clos, L est une clôture algébrique de
K. D’après le corollaire (XII.2.3), K et L sont K-isomorphes.
Remarques XII.2.4.
a) Il n’y a pas, en général, unicité de l’isomorphisme du corollaire XII.2.3. On
ne doit donc pas parler de LA clôture algébrique d’un corps, mais d’UNE clôture
algébrique.
b) Soient K un corps et E i /K, i ∈ I, une famille quelconque d’extensions.
On démontrera au TR.XII ci-après qu’il existe une extension E/K telle que, pour
tout i ∈ I, E i s’identifie à une sous-extension de E, i.e. il existe un K-morphisme
injectif u i : E i −→ E. En considérant une clôture algébrique E de E, on en
déduit que, pour toute famille donnée d’extensions E i /K, les E i , i ∈ I, peuvent
être considérés comme des sous-corps d’une extension algébriquement close de K.
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