XII.2. Clôtures algébriques
Démonstration. Il faut montrer qu’il existe un K-morphisme E −→ K tel que le
diagramme
F − −−− → E
⏐
⏐
⏐
⏐
K
K
commute. Soit E l’ensemble des couples (L, h) avec K ⊂ L ⊂ E et h : L −→ K
un K-morphisme.
L’ensemble E est non vide puisque (F, f ) appartient à E. On munit E d’une
relation d’ordre
((L, h) (L
, h
)) ⇐⇒ (L ⊂ L
et h
|L = h).
Alors E est un ensemble inductif, d’où il existe un élément maximal (L 0 , h 0 ) ∈ E
majorant (F, f ) (cf. l’appendice à la fin de cet ouvrage). Montrons, par l’absurde,
que L 0 = E. Si L 0 est strictement contenu dans E, il existe α ∈ E \ L 0 et
soit M α (X) le polynôme minimal de α sur L 0 , M α (X) =
i a i X i . Le polynôme
i h 0 (a i )X i appartient à K[X] et a donc au moins une racine Ξ ∈ K (K algébriquement clos). Considérons g : L 0 (α) −→ K définie par α → Ξ et g| L 0 = h 0 . Alors
(L 0 (α), g) majore strictement l’élément maximal (L 0 , h 0 ), d’où une contradiction.
Corollaire XII.2.1. Soient K un corps et K une clôture algébrique de K. Toute
extension algébrique de K se plonge dans K.
Démonstration. Soit E/K une extension algébrique. D’après le théorème (XII.2.3),
il existe f : E −→ K qui prolonge K K→ K. Comme f est forcément injectif, E
peut être identifié à un sous-corps de K.
Remarque XII.2.3. On peut donc identifier toute extension algébrique d’un corps
K à un sous-corps d’une clôture algébrique K de K (cf. remarque XII.2.4 cidessous).
Corollaire XII.2.2. Soient K un corps, K une clôture algébrique de K, E et F des
sous-corps de K contenant K. Tout K-morphisme de E dans F se prolonge en
un K-automorphisme de K.
Démonstration. On a
E
f
− −−− → F − −−− → K.
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Démonstration. Il faut montrer qu’il existe un K-morphisme E −→ K tel que le
diagramme
F − −−− → E
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K
K
commute. Soit E l’ensemble des couples (L, h) avec K ⊂ L ⊂ E et h : L −→ K
un K-morphisme.
L’ensemble E est non vide puisque (F, f ) appartient à E. On munit E d’une
relation d’ordre
((L, h) (L
, h
)) ⇐⇒ (L ⊂ L
et h
|L = h).
Alors E est un ensemble inductif, d’où il existe un élément maximal (L 0 , h 0 ) ∈ E
majorant (F, f ) (cf. l’appendice à la fin de cet ouvrage). Montrons, par l’absurde,
que L 0 = E. Si L 0 est strictement contenu dans E, il existe α ∈ E \ L 0 et
soit M α (X) le polynôme minimal de α sur L 0 , M α (X) =
i a i X i . Le polynôme
i h 0 (a i )X i appartient à K[X] et a donc au moins une racine Ξ ∈ K (K algébriquement clos). Considérons g : L 0 (α) −→ K définie par α → Ξ et g| L 0 = h 0 . Alors
(L 0 (α), g) majore strictement l’élément maximal (L 0 , h 0 ), d’où une contradiction.
Corollaire XII.2.1. Soient K un corps et K une clôture algébrique de K. Toute
extension algébrique de K se plonge dans K.
Démonstration. Soit E/K une extension algébrique. D’après le théorème (XII.2.3),
il existe f : E −→ K qui prolonge K K→ K. Comme f est forcément injectif, E
peut être identifié à un sous-corps de K.
Remarque XII.2.3. On peut donc identifier toute extension algébrique d’un corps
K à un sous-corps d’une clôture algébrique K de K (cf. remarque XII.2.4 cidessous).
Corollaire XII.2.2. Soient K un corps, K une clôture algébrique de K, E et F des
sous-corps de K contenant K. Tout K-morphisme de E dans F se prolonge en
un K-automorphisme de K.
Démonstration. On a
E
f
− −−− → F − −−− → K.
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