Chapitre XII. Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
de décomposition sur K du polynôme
1in f i (X). Dans Ω, en spécialisant X f i
en une racine du polynôme f i (X) pour i = 1, . . . , n et X f en 0 pour les autres f ,
on obtient 0 = 1, ce qui est impossible.
Puisque a = K[X f ], soit m un idéal maximal de K[X f ] contenant a. On
pose K 1 = K[X f ]/m. On identifie K à un sous-corps de K 1 , i.e. K 1 /K est une
extension. Soit α f la classe de X f dans K 1 : alors f (α f ) = 0 et α f est une
racine dans K 1 du polynôme f (X). Puisque ceci est vrai pour tous les α f , où f
parcourt F, K 1 est algébrique sur K et tout polynôme non constant de K[X] a
une racine dans K 1 .
On construit K 2 à partir de K 1 comme K 1 à partir de K et, plus généralement,
K n à partir de K n−1 par le même procédé, de sorte que tout polynôme irréductible
de K n−1 [X] admet une racine dans K n .
On pose K =
n∈N K n . Cette réunion a un sens puisque les K n , n ∈ N,
forment une suite croissante. D’autre part, pour tous x, y ∈ K, il existe p ∈ N
tel que x ∈ K p et y ∈ K p : on considère l’addition et la multiplication de x et
y effectuées dans K p . Puisque, pour tous p, q ∈ N, p q, K p est un sous-corps
de K q , i.e. les structures de corps de K p et K q sont compatibles, les opérations
ci-dessus définissent bien une structure de corps sur K.
Montrons que K/K est algébrique : Soit α ∈ K, alors il existe n ∈ N, tel que
α appartienne à K n . Comme K = K 0 ⊂ K 1 ⊂ . . . ⊂ K n et que chaque K i+1 /K i
algébrique, K n /K est algébrique et α est algébrique sur K.
Montrons que K est algébriquement clos : soit f (X) ∈ K[X]. Il existe n ∈ N
tel que f (X) ∈ K n [X] ; il a donc une racine dans K n+1 , donc dans K.
Exercice XII.2. (¶) Soient p un nombre premier et F p une clôture algébrique de F p .
a) Montrer que si x est un élément non nul de F p , x est une racine de l’unité.
b) Montrer que si q|q , alors F q ⊂ F q .
c) Soit q = p n . Montrer qu’il existe un unique sous-corps de F p n! isomorphe à
F q .
d) Montrer que K =
n∈N ∗ F p n! est un corps et que c’est une clôture algébrique
de tout corps fini de caractéristique p (donc de F p ).
Théorème XII.2.3. Soient F/K et E/F des extensions algébriques et K une clôture
algébrique de K. Tout K-morphisme de F dans K se prolonge en un K-morphisme
de E dans K.
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de décomposition sur K du polynôme
1in f i (X). Dans Ω, en spécialisant X f i
en une racine du polynôme f i (X) pour i = 1, . . . , n et X f en 0 pour les autres f ,
on obtient 0 = 1, ce qui est impossible.
Puisque a = K[X f ], soit m un idéal maximal de K[X f ] contenant a. On
pose K 1 = K[X f ]/m. On identifie K à un sous-corps de K 1 , i.e. K 1 /K est une
extension. Soit α f la classe de X f dans K 1 : alors f (α f ) = 0 et α f est une
racine dans K 1 du polynôme f (X). Puisque ceci est vrai pour tous les α f , où f
parcourt F, K 1 est algébrique sur K et tout polynôme non constant de K[X] a
une racine dans K 1 .
On construit K 2 à partir de K 1 comme K 1 à partir de K et, plus généralement,
K n à partir de K n−1 par le même procédé, de sorte que tout polynôme irréductible
de K n−1 [X] admet une racine dans K n .
On pose K =
n∈N K n . Cette réunion a un sens puisque les K n , n ∈ N,
forment une suite croissante. D’autre part, pour tous x, y ∈ K, il existe p ∈ N
tel que x ∈ K p et y ∈ K p : on considère l’addition et la multiplication de x et
y effectuées dans K p . Puisque, pour tous p, q ∈ N, p q, K p est un sous-corps
de K q , i.e. les structures de corps de K p et K q sont compatibles, les opérations
ci-dessus définissent bien une structure de corps sur K.
Montrons que K/K est algébrique : Soit α ∈ K, alors il existe n ∈ N, tel que
α appartienne à K n . Comme K = K 0 ⊂ K 1 ⊂ . . . ⊂ K n et que chaque K i+1 /K i
algébrique, K n /K est algébrique et α est algébrique sur K.
Montrons que K est algébriquement clos : soit f (X) ∈ K[X]. Il existe n ∈ N
tel que f (X) ∈ K n [X] ; il a donc une racine dans K n+1 , donc dans K.
Exercice XII.2. (¶) Soient p un nombre premier et F p une clôture algébrique de F p .
a) Montrer que si x est un élément non nul de F p , x est une racine de l’unité.
b) Montrer que si q|q , alors F q ⊂ F q .
c) Soit q = p n . Montrer qu’il existe un unique sous-corps de F p n! isomorphe à
F q .
d) Montrer que K =
n∈N ∗ F p n! est un corps et que c’est une clôture algébrique
de tout corps fini de caractéristique p (donc de F p ).
Théorème XII.2.3. Soient F/K et E/F des extensions algébriques et K une clôture
algébrique de K. Tout K-morphisme de F dans K se prolonge en un K-morphisme
de E dans K.
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