XII.2. Clôtures algébriques
de récurrence, il admet une racine z c ∈ C. Cette racine est nécessairement l’un
des β ij . Donc il existe i(c) et j(c) tels que
α i(c) + α j(c) + cα i(c) α j(c) = z c .
Ceci est vrai pour tout c ∈ R. Or R est infini et l’ensemble des couples (i, j), i j,
est fini. Donc il existe c = c tel que i(c) = i(c ) et j(c) = j(c ). Notons r et s ces
indices. On a
α r + α s + cα r α s = z c ∈ C
α r + α s + c
α r α s = z c ∈ C.
D’où α r + α s et α r α s appartiennent à C et on en déduit que α r et α s sont racines
d’une équation du second degré à coefficients dans C. Donc, d’après b), α r et α s
appartiennent à C. D’où f (X) admet une racine dans C.
Proposition XII.2.2. Un corps algébriquement clos est infini.
Démonstration. Si K est un corps fini, K = {a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 , . . . , a n }, le polynôme
f (X) =
n
i=1
(X − a i ) + 1
n’a pas de racine dans K, puisque pour tout i, f (a i ) = 1.
Remarque XII.2.1. On en déduit donc qu’un corps fini n’est jamais algébriquement
clos.
Définition XII.2.2. Une extension E/K est une clôture algébrique de K si
c’est une extension algébrique et si le corps E est algébriquement clos.
Remarque XII.2.2. D’après la proposition (XII.2.1.(iv)), un corps algébriquement
clos est sa propre clôture algébrique.
Théorème XII.2.2. Tout corps admet une clôture algébrique.
Démonstration. Soient K un corps et F l’ensemble des polynômes non constants de
K[X]. On considère l’anneau K[X f ] f ∈F (cf. TR.VIII.D) et l’idéal a = (f (X f )) f ∈F
engendré par les f (X f ).
Montrons que a = K[X f ] : si a = K[X f ], alors 1 s’écrit comme combinaison à
coefficients dans K[X f ] d’une famille finie f i (X f i ), i = 1, . . . , n. Soit Ω un corps
307
de récurrence, il admet une racine z c ∈ C. Cette racine est nécessairement l’un
des β ij . Donc il existe i(c) et j(c) tels que
α i(c) + α j(c) + cα i(c) α j(c) = z c .
Ceci est vrai pour tout c ∈ R. Or R est infini et l’ensemble des couples (i, j), i j,
est fini. Donc il existe c = c tel que i(c) = i(c ) et j(c) = j(c ). Notons r et s ces
indices. On a
α r + α s + cα r α s = z c ∈ C
α r + α s + c
α r α s = z c ∈ C.
D’où α r + α s et α r α s appartiennent à C et on en déduit que α r et α s sont racines
d’une équation du second degré à coefficients dans C. Donc, d’après b), α r et α s
appartiennent à C. D’où f (X) admet une racine dans C.
Proposition XII.2.2. Un corps algébriquement clos est infini.
Démonstration. Si K est un corps fini, K = {a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 , . . . , a n }, le polynôme
f (X) =
n
i=1
(X − a i ) + 1
n’a pas de racine dans K, puisque pour tout i, f (a i ) = 1.
Remarque XII.2.1. On en déduit donc qu’un corps fini n’est jamais algébriquement
clos.
Définition XII.2.2. Une extension E/K est une clôture algébrique de K si
c’est une extension algébrique et si le corps E est algébriquement clos.
Remarque XII.2.2. D’après la proposition (XII.2.1.(iv)), un corps algébriquement
clos est sa propre clôture algébrique.
Théorème XII.2.2. Tout corps admet une clôture algébrique.
Démonstration. Soient K un corps et F l’ensemble des polynômes non constants de
K[X]. On considère l’anneau K[X f ] f ∈F (cf. TR.VIII.D) et l’idéal a = (f (X f )) f ∈F
engendré par les f (X f ).
Montrons que a = K[X f ] : si a = K[X f ], alors 1 s’écrit comme combinaison à
coefficients dans K[X f ] d’une famille finie f i (X f i ), i = 1, . . . , n. Soit Ω un corps
307