Chapitre XII. Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
b) Tout polynôme de C[X] de degré 2 a ses racines dans C.
c) L’existence, pour tout polynôme, d’un corps de décomposition.
d) Les relations entre coefficients et racines d’un polynôme.
e) Le fait qu’un polynôme symétrique est un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires.
On va montrer que tout polynôme non constant P (X) ∈ C[X] admet une
racine dans C.
Soit P (X) le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de
P (X). Le polynôme F (X) = P (X)P (X) appartient à R[X]. Si F (X) a une racine
α ∈ C, alors soit P (α) = 0 et on a le résultat, soit P (α) = 0, mais alors P (α) = 0
et on a le résultat. Il suffit donc de montrer que tout polynôme non constant
f (X) ∈ R[X] ⊂ C[X] admet une racine dans C. Posons d = d ◦ f et écrivons
d = 2 n q, q impair. On fait un raisonnement par récurrence sur n.
Si n = 0, le degré de f est impair, d’où le résultat d’après a).
Supposons le résultat vrai pour d = 2 n−1 q (et f (X) unitaire). Dans un corps
K de décomposition sur C de f (X), (C ⊂ K), on a
f (X) =
d
i=1
(X − α i ), α 1 , . . . , α d ∈ K.
Soit c un élément quelconque de R. On pose
β ij = α i + α j + cα i α j , i j.
Il y a
1
2 d(d + 1) éléments β ij . Mais
1
2
d(d + 1) = 2
n−1 q(d + 1),
et q(d + 1) est impair.
On considère le polynôme
g(X) =
ij
(X − β ij ).
Ce polynôme a pour coefficients les polynômes symétriques élémentaires en les
β ij , donc des polynômes symétriques en les α i , à coefficient réels (puisque c ∈ R).
Donc, d’après e), ce sont des polynômes à coefficients réels en les polynômes symétriques élémentaires en les α i . Par conséquent, d’après d), les coefficients de g(X)
sont réels. Comme son degré est de la forme 2 n−1 q , avec q impair, par hypothèse
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