XII.2. Clôtures algébriques
Démonstration. Il est évident que (i) implique (ii).
Montrons que (ii) implique (iii) : puisque k[X] est principal, tout polynôme
f (X) s’écrit comme produit de polynômes irréductibles, donc du premier degré.
Un polynôme du premier degré a une racine dans k.
Pour montrer que (iii) implique (i), on procède par récurrence sur le degré
de f :
– le résultat est vrai si d ◦ f = 1,
– supposons le résultat vrai si d ◦ f n − 1 et soit f un polynôme de degré n ;
il existe α ∈ k tel que f (α) = 0, d’où f (X) = (X − α)g(X) et le résultat en
découle par hypothèse de récurrence.
Montrons que (ii) implique (iv) : soit α un élément algébrique sur k. Le polynôme
minimal de α est de degré 1, donc dim k k(α) = 1, i.e. α appartient à k.
Montrons que (iv) implique (ii) : soit f (X) ∈ k[X] un polynôme irréductible.
Alors k[X]/(f ) est un corps qui est une extension finie, donc algébrique, de k.
D’où k[X]/(f ) = k et dim k k[X]/(f ) = 1 = d ◦ f .
Définition XII.2.1. Un corps k qui vérifie les conditions équivalentes ci-dessus
est dit algébriquement clos.
Théorème XII.2.1. Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.
On va donner deux démonstrations de ce théorème.
Première démonstration. Soit f (X) un polynôme non constant de C[X]. Si f (X)
n’admet pas de racine dans C, la fonction
1
f (z) est holomorphe dans C. Puisque
lim |z|→+∞
1
f (z) = 0, la fonction
1
f (z) est bornée. Donc, d’après le théorème de
Liouville, elle est constante, d’où une contradiction.
Cette élégante démonstration analytique d’un résultat purement algébrique,
comme les très nombreuses interactions de l’algèbre en analyse, est un exemple
de l’unité des mathématiques que l’on a grandement tort de découper en « rondelles » ! !
Deuxième démonstration (cf. [25]). Cette démonstration « essentiellement » algébrique utilise les ingrédients suivants :
a) Tout polynôme de R[X] de degré impair admet une racine dans R (c’est une
conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, seul ingrédient analytique de
la démonstration).
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Démonstration. Il est évident que (i) implique (ii).
Montrons que (ii) implique (iii) : puisque k[X] est principal, tout polynôme
f (X) s’écrit comme produit de polynômes irréductibles, donc du premier degré.
Un polynôme du premier degré a une racine dans k.
Pour montrer que (iii) implique (i), on procède par récurrence sur le degré
de f :
– le résultat est vrai si d ◦ f = 1,
– supposons le résultat vrai si d ◦ f n − 1 et soit f un polynôme de degré n ;
il existe α ∈ k tel que f (α) = 0, d’où f (X) = (X − α)g(X) et le résultat en
découle par hypothèse de récurrence.
Montrons que (ii) implique (iv) : soit α un élément algébrique sur k. Le polynôme
minimal de α est de degré 1, donc dim k k(α) = 1, i.e. α appartient à k.
Montrons que (iv) implique (ii) : soit f (X) ∈ k[X] un polynôme irréductible.
Alors k[X]/(f ) est un corps qui est une extension finie, donc algébrique, de k.
D’où k[X]/(f ) = k et dim k k[X]/(f ) = 1 = d ◦ f .
Définition XII.2.1. Un corps k qui vérifie les conditions équivalentes ci-dessus
est dit algébriquement clos.
Théorème XII.2.1. Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.
On va donner deux démonstrations de ce théorème.
Première démonstration. Soit f (X) un polynôme non constant de C[X]. Si f (X)
n’admet pas de racine dans C, la fonction
1
f (z) est holomorphe dans C. Puisque
lim |z|→+∞
1
f (z) = 0, la fonction
1
f (z) est bornée. Donc, d’après le théorème de
Liouville, elle est constante, d’où une contradiction.
Cette élégante démonstration analytique d’un résultat purement algébrique,
comme les très nombreuses interactions de l’algèbre en analyse, est un exemple
de l’unité des mathématiques que l’on a grandement tort de découper en « rondelles » ! !
Deuxième démonstration (cf. [25]). Cette démonstration « essentiellement » algébrique utilise les ingrédients suivants :
a) Tout polynôme de R[X] de degré impair admet une racine dans R (c’est une
conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, seul ingrédient analytique de
la démonstration).
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