Chapitre XII. Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
(pour le tableau de la multiplication, on a α(α + 1) = α 2 + α = α + 1 + α =
2α + 1 = 1). On en déduit que K est un corps et que
X
2 + X + 1 = (X − α)(X + α + 1).
Autrement dit, le polynôme f (X) = X 2 + X + 1 ∈ Z/2Z[X] est scindé dans
Z/2Z(α), mais n’est pas scindé sur Z/2Z qui est l’unique corps strictement contenu
dans Z/2Z(α). Donc Z/2Z(α) est un corps de décomposition de X 2 + X + 1 sur
Z/2Z.
Exercice XII.1.
1. Soient K un corps, P (X) un polynôme de degré n de K[X], E un corps de
décomposition de P (X). Montrer que [E : K] divise (n!).
2. Soient K ⊂ C un corps et P (X) = X 3 + pX + q un polynôme
irréductible dans K[X], dont on note a, b, c les racines dans C. On pose
d = (a − b)(b − c)(c − a).
a) Écrire les relations entre coefficients et racines pour P (X). En déduire que
b + c = −a et (b − c)(−2q 2 +
q
a ) = d.
b) Montrer que K(a, d) est un corps de décomposition de P (X) sur K.
c) Montrer que [K(a, d) : K] = 3 ou 6, suivant que le discriminant
D(P ) = −4p 3 − 27q 2 de P est un carré ou non dans K. (Indication : on remarquera que d 2 est symétrique en a, b, c ; il s’exprime donc en fonction des polynômes
symétriques élémentaires, donc en fonction de p et q. Vérifier que d 2 = D(P ).)
XII.2. Clôtures algébriques
L’étude du paragraphe précédent consistait à construire, pour un polynôme
non constant donné f (X) ∈ k[X], une extension de k dans laquelle le polynôme
f (X) se décompose en un produit de polynômes du premier degré (corps de décomposition de f (X) sur k).
L’objectif de ce paragraphe est de faire une construction analogue, valable
pour tous les polynômes de k[X].
Proposition XII.2.1. Soit k un corps. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout polynôme non constant de k[X] se décompose, dans k[X], en un produit de polynômes du premier degré
(ii) Tout polynôme irréductible de k[X] est du premier degré
(iii) Tout polynôme non constant de k[X] a au moins une racine dans k
(iv) Toute extension algébrique de k est triviale (i.e. égale à k).
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(pour le tableau de la multiplication, on a α(α + 1) = α 2 + α = α + 1 + α =
2α + 1 = 1). On en déduit que K est un corps et que
X
2 + X + 1 = (X − α)(X + α + 1).
Autrement dit, le polynôme f (X) = X 2 + X + 1 ∈ Z/2Z[X] est scindé dans
Z/2Z(α), mais n’est pas scindé sur Z/2Z qui est l’unique corps strictement contenu
dans Z/2Z(α). Donc Z/2Z(α) est un corps de décomposition de X 2 + X + 1 sur
Z/2Z.
Exercice XII.1.
1. Soient K un corps, P (X) un polynôme de degré n de K[X], E un corps de
décomposition de P (X). Montrer que [E : K] divise (n!).
2. Soient K ⊂ C un corps et P (X) = X 3 + pX + q un polynôme
irréductible dans K[X], dont on note a, b, c les racines dans C. On pose
d = (a − b)(b − c)(c − a).
a) Écrire les relations entre coefficients et racines pour P (X). En déduire que
b + c = −a et (b − c)(−2q 2 +
q
a ) = d.
b) Montrer que K(a, d) est un corps de décomposition de P (X) sur K.
c) Montrer que [K(a, d) : K] = 3 ou 6, suivant que le discriminant
D(P ) = −4p 3 − 27q 2 de P est un carré ou non dans K. (Indication : on remarquera que d 2 est symétrique en a, b, c ; il s’exprime donc en fonction des polynômes
symétriques élémentaires, donc en fonction de p et q. Vérifier que d 2 = D(P ).)
XII.2. Clôtures algébriques
L’étude du paragraphe précédent consistait à construire, pour un polynôme
non constant donné f (X) ∈ k[X], une extension de k dans laquelle le polynôme
f (X) se décompose en un produit de polynômes du premier degré (corps de décomposition de f (X) sur k).
L’objectif de ce paragraphe est de faire une construction analogue, valable
pour tous les polynômes de k[X].
Proposition XII.2.1. Soit k un corps. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout polynôme non constant de k[X] se décompose, dans k[X], en un produit de polynômes du premier degré
(ii) Tout polynôme irréductible de k[X] est du premier degré
(iii) Tout polynôme non constant de k[X] a au moins une racine dans k
(iv) Toute extension algébrique de k est triviale (i.e. égale à k).
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