XII.1. Corps de rupture et corps de décomposition d’un polynôme
dans K . D’après la proposition (XII.1.2), il existe s 1 : k(α 1 ) −→ k (α
1 ), isomorphisme de corps qui prolonge s. D’où, par hypothèse de récurrence, il existe
σ : K = k(α 1 )(α 2 , . . . , α n ) −→ K
= k
(α
1 )(α
2 , . . . , α
n )
qui prolonge s 1 , donc aussi s.
Pour démontrer l’assertion (ii) du théorème XII.1.1, on applique ce lemme
avec k = k et s = id k .
Remarques XII.1.2.
a) Deux corps de décomposition d’un polynôme ne sont pas canoniquement
isomorphes. En effet l’isomorphisme dépend de l’ordre dans lequel on écrit les
racines du polynôme.
b) Deux polynômes irréductibles distincts peuvent avoir le même corps de
décomposition (cf. exemples ci-dessous).
Exemples XII.1.3.
a) f (X) = (X 2 − 3)(X 3 + 1) se décompose dans C en
f (X) = (X +
√
3)(X −
√
3)(X + 1)
X +
1 + i
√
3
2
X −
1 − i
√
3
2
.
On a donc un corps de décomposition de f (X) qui est Q(i,
√
3).
b) Les polynômes f (X) = X 2 − 3 et g(X) = X 2 − 2X − 2 sont irréductibles
sur Q et admettent un corps de décomposition sur Q qui est Q(
√
3).
c) On considère le polynôme f (X) = X 2 + X + 1 dans Z/2Z[X]. Ce polynôme
est irréductible. Pour fabriquer un corps de décomposition sur Z/2Z de f (X), on
doit adjoindre à Z/2Z un élément α admettant f (X) comme polynôme minimal.
On a α 2 + α + 1 = 0, i.e. α 2 = −(α + 1) = α + 1 (caractéristique 2). On considère
K = {0, 1, α, α + 1}. On a alors
+
0
1
α
α+ 1
0
0
1
α
α+ 1
1
1
0
α + 1 α
α
α
α+ 1 0
1
α + 1
α + 1 α
1
0
×
0 1
α
α+ 1
0
0 0
0
0
1
0 1
α
α+ 1
α
0 α
α+ 1 1
α + 1
0 α + 1 1
α
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