Chapitre XII. Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
Définition XII.1.4. Soient k un corps et f (X) un polynôme non constant de
k[X]. On appelle corps de décomposition de f (X) sur k, une extension
(algébrique) K/k telle que f (X) est scindé dans K, de racines α 1 , . . . , α n et
K = k(α 1 , . . . , α n ).
Théorème XII.1.1. Soient k un corps et f (X) un polynôme non constant de k[X].
(i) Il existe un corps de décomposition de f (X) sur k.
(ii) Deux corps de décomposition de f (X) sur k sont k-isomorphes.
Démonstration. (i). On fait un raisonnement par récurrence sur le degré de f .
– Si d ◦ f = 1, le résultat est évident.
– Supposons le résultat vrai pour tout corps k et tout polynôme de k[X] de
degré inférieur ou égal à n − 1 (n > 1). Soit f (X) ∈ k[X] de degré n. Si
f (X) n’est pas scindé dans k, il possède un facteur irréductible g(X) avec
d ◦ g > 1. Soit k(α 1 ) un corps de rupture de g(X). Dans k(α 1 )[X], on a
f (X) = (X − α 1 )h(X) et d ◦ h = n − 1. Donc h(X) admet un corps de décomposition k(α 1 )(α 2 , . . . , α n ) = K, qui est donc un corps de décomposition
de f (X) sur k.
(ii). On démontre plus généralement le lemme suivant :
Lemme XII.1.1. Soient s : k −→ k un isomorphisme de corps, f (X) un polynôme
de k[X], K (resp. K ) un corps de décomposition de f (X) (resp. s(f )(X)). Alors,
il existe un isomorphisme de corps σ : K −→ K qui prolonge s.
Démonstration. – Si d ◦ f = 1, c’est évident.
– Supposons le résultat vrai pour tout corps et tout polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 et soit f un polynôme de degré n. On considère
K = k(α 1 , . . . , α n ), K
= k
(α
1 , . . . , α
n )
et
f (X) = c(X − α 1 ) . . . (X − α n ), s(f )(X) = c
(X − α
1 ) . . . (X − α
n ).
Soit g(X) un facteur irréductible de f (X) admettant α 1 comme racine dans K.
En renumérotant les α
i , on peut supposer que s(g)(X) admet α
1 comme racine
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Définition XII.1.4. Soient k un corps et f (X) un polynôme non constant de
k[X]. On appelle corps de décomposition de f (X) sur k, une extension
(algébrique) K/k telle que f (X) est scindé dans K, de racines α 1 , . . . , α n et
K = k(α 1 , . . . , α n ).
Théorème XII.1.1. Soient k un corps et f (X) un polynôme non constant de k[X].
(i) Il existe un corps de décomposition de f (X) sur k.
(ii) Deux corps de décomposition de f (X) sur k sont k-isomorphes.
Démonstration. (i). On fait un raisonnement par récurrence sur le degré de f .
– Si d ◦ f = 1, le résultat est évident.
– Supposons le résultat vrai pour tout corps k et tout polynôme de k[X] de
degré inférieur ou égal à n − 1 (n > 1). Soit f (X) ∈ k[X] de degré n. Si
f (X) n’est pas scindé dans k, il possède un facteur irréductible g(X) avec
d ◦ g > 1. Soit k(α 1 ) un corps de rupture de g(X). Dans k(α 1 )[X], on a
f (X) = (X − α 1 )h(X) et d ◦ h = n − 1. Donc h(X) admet un corps de décomposition k(α 1 )(α 2 , . . . , α n ) = K, qui est donc un corps de décomposition
de f (X) sur k.
(ii). On démontre plus généralement le lemme suivant :
Lemme XII.1.1. Soient s : k −→ k un isomorphisme de corps, f (X) un polynôme
de k[X], K (resp. K ) un corps de décomposition de f (X) (resp. s(f )(X)). Alors,
il existe un isomorphisme de corps σ : K −→ K qui prolonge s.
Démonstration. – Si d ◦ f = 1, c’est évident.
– Supposons le résultat vrai pour tout corps et tout polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 et soit f un polynôme de degré n. On considère
K = k(α 1 , . . . , α n ), K
= k
(α
1 , . . . , α
n )
et
f (X) = c(X − α 1 ) . . . (X − α n ), s(f )(X) = c
(X − α
1 ) . . . (X − α
n ).
Soit g(X) un facteur irréductible de f (X) admettant α 1 comme racine dans K.
En renumérotant les α
i , on peut supposer que s(g)(X) admet α
1 comme racine
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