XII.1. Corps de rupture et corps de décomposition d’un polynôme
Démonstration. On applique la proposition XII.1.2 avec k = k et s = id k .
Corollaire XII.1.1. Soient K/k une extension et α et α deux éléments de K algébriques sur k. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Les polynômes minimaux respectifs de α et α sont égaux
(ii) Il existe un (unique) k-isomorphisme de k(α) sur k(α ) appliquant α sur α .
Démonstration. L’assertion (i) implique (ii) car :
k(α) k[X]/(M α (X)) = k[X]/(M α (X)) k(α
).
D’autre part, l’assertion (ii) implique (i) : en effet, en notant σ le k-isomorphisme
dont l’assertion (ii) suppose l’existence, pour tout polynôme P (X) ∈ k[X] on a
σ(P (α)) = P (σ(α)) = P (α ). D’où P (α) = 0 si et seulement si P (α ) = 0. On en
déduit que M α (X) = M α (X).
Définition XII.1.2. Lorsque les conditions équivalentes ci-dessus sont vérifiées,
les éléments α et α sont dits conjugués.
Remarque XII.1.1. On précisera cette notion au chapitre suivant.
Définition XII.1.3. Soient k un corps, f (X) un polynôme non constant de k[X]
et K/k une extension. Le polynôme f (X) se décompose dans K (ou est
scindé dans K) si f (X) = c(X −α 1 ) . . . (X −α n ), où c, α 1 , . . . , α n sont dans K.
Autrement dit, dans K[X] le polynôme s’écrit comme produit de facteurs de
degré 1.
Exemples XII.1.2.
a) Le polynôme X 3 − 1 de Q[X] est scindé dans C.
b) Le polynôme X 4 − X 2 − 2 de Q[X] est scindé dans Q(i,
√
2)
(X 4 − X 2 − 2 = (X + i)(X − i)(X +
√
2)(X −
√
2)), mais pas dans Q(i)
(X 4 − X 2 − 2 = (X + i)(X − i)(X 2 − 2)).
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Démonstration. On applique la proposition XII.1.2 avec k = k et s = id k .
Corollaire XII.1.1. Soient K/k une extension et α et α deux éléments de K algébriques sur k. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Les polynômes minimaux respectifs de α et α sont égaux
(ii) Il existe un (unique) k-isomorphisme de k(α) sur k(α ) appliquant α sur α .
Démonstration. L’assertion (i) implique (ii) car :
k(α) k[X]/(M α (X)) = k[X]/(M α (X)) k(α
).
D’autre part, l’assertion (ii) implique (i) : en effet, en notant σ le k-isomorphisme
dont l’assertion (ii) suppose l’existence, pour tout polynôme P (X) ∈ k[X] on a
σ(P (α)) = P (σ(α)) = P (α ). D’où P (α) = 0 si et seulement si P (α ) = 0. On en
déduit que M α (X) = M α (X).
Définition XII.1.2. Lorsque les conditions équivalentes ci-dessus sont vérifiées,
les éléments α et α sont dits conjugués.
Remarque XII.1.1. On précisera cette notion au chapitre suivant.
Définition XII.1.3. Soient k un corps, f (X) un polynôme non constant de k[X]
et K/k une extension. Le polynôme f (X) se décompose dans K (ou est
scindé dans K) si f (X) = c(X −α 1 ) . . . (X −α n ), où c, α 1 , . . . , α n sont dans K.
Autrement dit, dans K[X] le polynôme s’écrit comme produit de facteurs de
degré 1.
Exemples XII.1.2.
a) Le polynôme X 3 − 1 de Q[X] est scindé dans C.
b) Le polynôme X 4 − X 2 − 2 de Q[X] est scindé dans Q(i,
√
2)
(X 4 − X 2 − 2 = (X + i)(X − i)(X +
√
2)(X −
√
2)), mais pas dans Q(i)
(X 4 − X 2 − 2 = (X + i)(X − i)(X 2 − 2)).
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