Chapitre XII. Décomposition des polynômes – Clôtures algébriques
Démonstration. On pose K = k[X]/(f (X)). Puisque f (X) est irréductible,
l’idéal (f (X)) est maximal, d’où K est un corps. On considère l’application
k k→ k[X] −→ K qui permet d’identifier k à un sous-corps de K et donc de considérer l’extension K/k. On note α la classe de X dans K : alors dans K, f (α) = 0,
i.e. α est une racine de f . D’après le théorème (XI.1.1), K = k(α).
Exemples XII.1.1.
a) k = Q, f(X) = X 2 − 2; K = Q(
√
2).
b) k = R, f(X) = X 2 + 1; K = C.
Proposition XII.1.2 (prolongement des isomorphismes). Soient k et k deux corps
et s : k −→ k un isomorphisme de corps. On note s : k[X] −→ k [X] l’isomorphisme d’anneaux prolongeant s (s(
i a i X i ) =
i s(a i )X i ). Soit f (X) un
polynôme irréductible de k[X].
(i) Le polynôme s(f )(X) est irréductible dans k [X].
(ii) Soient K (resp. K ) une extension de k (resp. k ) et α (resp. α ) une racine
de f (X) (resp. s(f )(X)) dans K (resp. K ). Il existe un unique isomorphisme de
corps σ : k(α) −→ k (α ) prolongeant s et tel que σ(α) = α .
Démonstration. L’assertion (i) est évidente.
Pour l’assertion (ii), montrons d’abord l’unicité : un élément y de k(α) s’écrit
y = a o + . . . + a n−1 α n−1 , où n est le degré de f . Donc
σ(y) = σ(a o ) + . . . + σ(a n−1 )σ(α)
n−1 = s(a o ) + . . . + s(a n−1 )α
n−1 ,
d’où l’unicité.
Pour montrer l’existence, considérons le diagramme suivant, où Θ et Θ sont
les isomorphismes établis au théorème (XI.1.1) :
k(α)
σ
− −−− →
k (α )
Θ
⏐
⏐
⏐
⏐
Θ
k[X]/(f (X)) − −−− →
s
k [X]/(s(f )(X))
où s est obtenu à partir de s par passage au quotient. On pose
σ = Θ
−1
◦ s ◦ Θ.
Proposition XII.1.3. Soient k un corps et f (X) un polynôme irréductible de k[X].
Deux corps de rupture de f (X) sont k-isomorphes.
300
Démonstration. On pose K = k[X]/(f (X)). Puisque f (X) est irréductible,
l’idéal (f (X)) est maximal, d’où K est un corps. On considère l’application
k k→ k[X] −→ K qui permet d’identifier k à un sous-corps de K et donc de considérer l’extension K/k. On note α la classe de X dans K : alors dans K, f (α) = 0,
i.e. α est une racine de f . D’après le théorème (XI.1.1), K = k(α).
Exemples XII.1.1.
a) k = Q, f(X) = X 2 − 2; K = Q(
√
2).
b) k = R, f(X) = X 2 + 1; K = C.
Proposition XII.1.2 (prolongement des isomorphismes). Soient k et k deux corps
et s : k −→ k un isomorphisme de corps. On note s : k[X] −→ k [X] l’isomorphisme d’anneaux prolongeant s (s(
i a i X i ) =
i s(a i )X i ). Soit f (X) un
polynôme irréductible de k[X].
(i) Le polynôme s(f )(X) est irréductible dans k [X].
(ii) Soient K (resp. K ) une extension de k (resp. k ) et α (resp. α ) une racine
de f (X) (resp. s(f )(X)) dans K (resp. K ). Il existe un unique isomorphisme de
corps σ : k(α) −→ k (α ) prolongeant s et tel que σ(α) = α .
Démonstration. L’assertion (i) est évidente.
Pour l’assertion (ii), montrons d’abord l’unicité : un élément y de k(α) s’écrit
y = a o + . . . + a n−1 α n−1 , où n est le degré de f . Donc
σ(y) = σ(a o ) + . . . + σ(a n−1 )σ(α)
n−1 = s(a o ) + . . . + s(a n−1 )α
n−1 ,
d’où l’unicité.
Pour montrer l’existence, considérons le diagramme suivant, où Θ et Θ sont
les isomorphismes établis au théorème (XI.1.1) :
k(α)
σ
− −−− →
k (α )
Θ
⏐
⏐
⏐
⏐
Θ
k[X]/(f (X)) − −−− →
s
k [X]/(s(f )(X))
où s est obtenu à partir de s par passage au quotient. On pose
σ = Θ
−1
◦ s ◦ Θ.
Proposition XII.1.3. Soient k un corps et f (X) un polynôme irréductible de k[X].
Deux corps de rupture de f (X) sont k-isomorphes.
300