XII
DÉCOMPOSITION DES POLYNÔMES
CLÔTURES ALGÉBRIQUES
L’objet de ce chapitre est de répondre, par l’affirmative, aux questions posées
dans l’introduction du chapitre IX. Précisément, on montre que, pour tout corps K
et tout polynôme f (X) ∈ K[X], il existe une extension « minimale » L/K dans
laquelle le polynôme f (X) se décompose en facteurs du premier degré. Autrement
dit, L contient toutes les racines de l’équation f (X) = 0. Ce corps L est un corps
de décomposition du polynôme f (X) sur K.
De plus, on montre qu’il existe une extension algébrique E/K, unique à isomorphisme près, vérifiant la propriété ci-dessus pour tous les polynômes de K[X],
et aussi pour tous les polynômes de E[X]. Le corps E est une clôture algébrique
de K.
XII.1. Corps de rupture et corps de décomposition
d’un polynôme
Définition XII.1.1. Soient k un corps et f (X) un polynôme non constant à coefficients dans k. Un corps de rupture K de f est une extension K/k telle
que f (X) admette une racine α dans K et K = k(α).
Quitte à remplacer f (X) par l’un des ses facteurs irréductibles, on supposera
dans toute la suite que le polynôme f (X) est irréductible dans k[X].
Proposition XII.1.1. Pour tout corps k et tout polynôme f (X) de k[X], il existe un
corps de rupture.
DÉCOMPOSITION DES POLYNÔMES
CLÔTURES ALGÉBRIQUES
L’objet de ce chapitre est de répondre, par l’affirmative, aux questions posées
dans l’introduction du chapitre IX. Précisément, on montre que, pour tout corps K
et tout polynôme f (X) ∈ K[X], il existe une extension « minimale » L/K dans
laquelle le polynôme f (X) se décompose en facteurs du premier degré. Autrement
dit, L contient toutes les racines de l’équation f (X) = 0. Ce corps L est un corps
de décomposition du polynôme f (X) sur K.
De plus, on montre qu’il existe une extension algébrique E/K, unique à isomorphisme près, vérifiant la propriété ci-dessus pour tous les polynômes de K[X],
et aussi pour tous les polynômes de E[X]. Le corps E est une clôture algébrique
de K.
XII.1. Corps de rupture et corps de décomposition
d’un polynôme
Définition XII.1.1. Soient k un corps et f (X) un polynôme non constant à coefficients dans k. Un corps de rupture K de f est une extension K/k telle
que f (X) admette une racine α dans K et K = k(α).
Quitte à remplacer f (X) par l’un des ses facteurs irréductibles, on supposera
dans toute la suite que le polynôme f (X) est irréductible dans k[X].
Proposition XII.1.1. Pour tout corps k et tout polynôme f (X) de k[X], il existe un
corps de rupture.