Algèbre T1
Démonstration. Appelons r i,j les différentes racines de σ i (A). Alors
N Q(a)/Q (A(x − ka)) possède une racine multiple si et seulement s’il existe i 1 , i 2 , j 1
et j 2 tels que r i 1 ,j 1 +ka j 1 = r i 2 ,j 2 +ka j 2 , c’est-à-dire k = (r i 1 ,j 1 −r i 2 ,j 2 )/(a j 2 −a j 1 ).
Il n’y a qu’un nombre fini de tels éléments k.
8. Factoriser P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 dans Q(a)[x], où a est une racine de P ,
en suivant la stratégie explicitée ci-dessus. On utilisera
collect(evala(Expand(P)),x)
pour développer une expression de Q(a)[x] et l’écrire comme un polynôme en
x. Comparer avec le résultat de la commande factor(P,a) de Maple.
9. Sur cet exemple et notant toujours b = a + a −1 , quel est le polynôme minimal
de a sur Q(b) ? (Il est nécessaire de définir proprement b avec une commande
RootOf avant de pouvoir factoriser dans Q(b)[x].)
10. Justifier que L = Q(b) contient un sous-corps isomorphe à K = Q(a) si et
seulement si μ a possède une racine dans L. Écrire une procédure
test:=proc(P,Q)
renvoyant true or false et répondant à cette question pour μ a = P et μ b = Q.
Tester avec P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 et Q = x 2 − 5, puis Q = x 2 + 5.
Remarque. Cet exemple est un cas particulier de la situation suivante : on a
Q
(−1)
p−1
2 p
⊂ Q(ζ p ), où Q(ζ p ) désigne l’extension cyclotomique engendrée par une racine ζ p primitive p-ième de l’unité.
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Démonstration. Appelons r i,j les différentes racines de σ i (A). Alors
N Q(a)/Q (A(x − ka)) possède une racine multiple si et seulement s’il existe i 1 , i 2 , j 1
et j 2 tels que r i 1 ,j 1 +ka j 1 = r i 2 ,j 2 +ka j 2 , c’est-à-dire k = (r i 1 ,j 1 −r i 2 ,j 2 )/(a j 2 −a j 1 ).
Il n’y a qu’un nombre fini de tels éléments k.
8. Factoriser P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 dans Q(a)[x], où a est une racine de P ,
en suivant la stratégie explicitée ci-dessus. On utilisera
collect(evala(Expand(P)),x)
pour développer une expression de Q(a)[x] et l’écrire comme un polynôme en
x. Comparer avec le résultat de la commande factor(P,a) de Maple.
9. Sur cet exemple et notant toujours b = a + a −1 , quel est le polynôme minimal
de a sur Q(b) ? (Il est nécessaire de définir proprement b avec une commande
RootOf avant de pouvoir factoriser dans Q(b)[x].)
10. Justifier que L = Q(b) contient un sous-corps isomorphe à K = Q(a) si et
seulement si μ a possède une racine dans L. Écrire une procédure
test:=proc(P,Q)
renvoyant true or false et répondant à cette question pour μ a = P et μ b = Q.
Tester avec P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 et Q = x 2 − 5, puis Q = x 2 + 5.
Remarque. Cet exemple est un cas particulier de la situation suivante : on a
Q
(−1)
p−1
2 p
⊂ Q(ζ p ), où Q(ζ p ) désigne l’extension cyclotomique engendrée par une racine ζ p primitive p-ième de l’unité.
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