Travaux pratiques
Démonstration. Considérons g A (x, y) comme un polynôme de Q(x)[y] et écrivons
g A (x, y) = λ(x)
n
i=1 (y − r i ), où n = deg y g, dans un corps de décomposition.
Comme μ a (y) =
m
i=1 (y − a i ), le résultant s’exprime par
Res y (μ a (y), g A (x, y)) = λ(x)
m
i,j
(a i − r i ) =
m
i=1
λ(x)
n
j=1
(a i − r i ) =
m
i=1
g A (x, a i ).
L’égalité en découle, puisque g A (x, a i ) = σ i (A).
6. Écrire une procédure Norme:=proc(A,a,P) calculant, par la méthode du résultant, la norme d’un polynôme A de Q(a)[x], où a est défini par une commande
alias(a=RootOf(P,x)). Tester avec l’exemple P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1,
b = a + a −1 de la question précédente.
7. Enfin, écrire une procédure minimal:=proc(b,a,P) faisant appel à Norme et
renvoyant le polynôme minimal de b (on pourra utiliser le polynôme dérivé
obtenu avec la commande diff). Tester sur l’exemple habituel.
Factorisation dans une extension algébrique
La clef est encore la norme.
Proposition 6. Supposons que A ∈ Q(a)[x] et N Q(a)/Q (A) ∈ Q[x] soient tous les
deux sans facteur carré. Soit N Q(a)/Q (A) =
s
j=1 N j la factorisation en irréductibles dans Q[x]. Alors A =
pgcd(A, N j ) est la factorisation de A en irréductibles dans Q(a)[x].
Démonstration. Soit A =
t
i=1 A i la factorisation en irréductibles dans Q(a)[x].
Comme N Q(a)/Q (A) est sans facteur carré, il en est de même de N Q(a)/Q (A i ). Ce
dernier est donc un polynôme irréductible de Q(x] (en vertu de la proposition 4),
c’est-à-dire un N j i . De plus, comme N Q(a)/Q (A i A j ) divise N Q(a)/Q (A) pour i = j,
donc est sans facteur carré, on voit que les N Q(a)/Q (A i ), donc les N j i , sont premiers
entre eux deux à deux. Finalement, s = t et l’on peut supposer que N Q(a)/Q (A i ) =
N i , quitte à réordonner les facteurs. Enfin, N i est premier avec N Q(a)/Q (A j ) donc
avec A j pour i = j. Ainsi A i = pgcd(A, N i ) (à une unité près), ce qui démontre
la proposition.
Le lemme suivant permet de se ramener à la situation de la proposition.
Lemme 1. Si A ∈ Q(a)[x] est sans facteur carré, alors il n’existe qu’un nombre
fini de k ∈ Q tels que N Q(a)/Q (A(x − ka)) ne soit pas sans facteur carré.
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Démonstration. Considérons g A (x, y) comme un polynôme de Q(x)[y] et écrivons
g A (x, y) = λ(x)
n
i=1 (y − r i ), où n = deg y g, dans un corps de décomposition.
Comme μ a (y) =
m
i=1 (y − a i ), le résultant s’exprime par
Res y (μ a (y), g A (x, y)) = λ(x)
m
i,j
(a i − r i ) =
m
i=1
λ(x)
n
j=1
(a i − r i ) =
m
i=1
g A (x, a i ).
L’égalité en découle, puisque g A (x, a i ) = σ i (A).
6. Écrire une procédure Norme:=proc(A,a,P) calculant, par la méthode du résultant, la norme d’un polynôme A de Q(a)[x], où a est défini par une commande
alias(a=RootOf(P,x)). Tester avec l’exemple P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1,
b = a + a −1 de la question précédente.
7. Enfin, écrire une procédure minimal:=proc(b,a,P) faisant appel à Norme et
renvoyant le polynôme minimal de b (on pourra utiliser le polynôme dérivé
obtenu avec la commande diff). Tester sur l’exemple habituel.
Factorisation dans une extension algébrique
La clef est encore la norme.
Proposition 6. Supposons que A ∈ Q(a)[x] et N Q(a)/Q (A) ∈ Q[x] soient tous les
deux sans facteur carré. Soit N Q(a)/Q (A) =
s
j=1 N j la factorisation en irréductibles dans Q[x]. Alors A =
pgcd(A, N j ) est la factorisation de A en irréductibles dans Q(a)[x].
Démonstration. Soit A =
t
i=1 A i la factorisation en irréductibles dans Q(a)[x].
Comme N Q(a)/Q (A) est sans facteur carré, il en est de même de N Q(a)/Q (A i ). Ce
dernier est donc un polynôme irréductible de Q(x] (en vertu de la proposition 4),
c’est-à-dire un N j i . De plus, comme N Q(a)/Q (A i A j ) divise N Q(a)/Q (A) pour i = j,
donc est sans facteur carré, on voit que les N Q(a)/Q (A i ), donc les N j i , sont premiers
entre eux deux à deux. Finalement, s = t et l’on peut supposer que N Q(a)/Q (A i ) =
N i , quitte à réordonner les facteurs. Enfin, N i est premier avec N Q(a)/Q (A j ) donc
avec A j pour i = j. Ainsi A i = pgcd(A, N i ) (à une unité près), ce qui démontre
la proposition.
Le lemme suivant permet de se ramener à la situation de la proposition.
Lemme 1. Si A ∈ Q(a)[x] est sans facteur carré, alors il n’existe qu’un nombre
fini de k ∈ Q tels que N Q(a)/Q (A(x − ka)) ne soit pas sans facteur carré.
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