Algèbre T1
– On prend b = a ; vérifier que la commande evala(Norm(x-b)) donne le
polynôme minimal. Écrire la matrice A de m a dans la base (1, a, . . . , a 3 )
(commencer par définir ma:=(i,j)->...; puis A:=Matrix(4,ma);). Calculer enfin le polynôme caractéristique de a par rapport à l’extension
Q(a)/Q à l’aide de la commande
LinearAlgebra[CharacteristicPolynomial](A,x);
et comparer.
– On prend b = a + a −1 . Refaire les mêmes calculs et déterminer μ b .
Nous allons maintenant expliquer le nom de la commande Maple. Si
a 1 = a, . . . , a m sont les m racines complexes distinctes du polynôme irréductible
P de degré m et si A est un polynôme donné de Q(a)[x], la norme N Q(a)/Q (A)
est par définition :
N Q(a)/Q (A) =
n
i=1
σ i (A)
où σ i : Q(a) → C est définie par σ i (a) = a i et σ i opère sur A en agissant sur
chaque coefficient. Notant M = Q(a 1 , . . . , a m ) le corps de décomposition de P ,
d’après la théorie de Galois, on a M Gal(M/Q) = Q (cela a été annoncé au chapitre X
et sera démontré rigoureusement au chapitre XIV). On voit donc que N Q(a)/Q (A)
appartient à Q[x].
Proposition 4. Si A est irréductible dans Q(a)[x], alors N Q(a)/Q (A) est égal à une
puissance d’un polynôme irréductible de Q[x].
Corollaire 1. On a N Q(a)/Q (x − b) = μ r
b , où r = [Q(a) : Q(b)].
Démonstration. Soit N Q(a)/Q (A) =
i N
e i
i la factorisation en irréductibles sur Q.
Comme A divise N Q(a)/Q (A) dans Q(a)[x] et est irréductible dans Q(a)[x], il divise
l’un des facteur, disons N 1 . Alors σ i (A) divise σ i (N 1 ) = N 1 pour tout i. Donc
N Q(a)/Q (A) divise N n
1 dans M [x], donc dans Q[x]. Cela démontre la proposition.
Le corollaire montre que N Q(a)/Q (x − b) coïncide avec le polynôme caractéristique de b. Enfin, faisons le lien avec la théorie du résultant, ce qui fournira
une méthode efficace de calcul du polynôme caractéristique, donc du polynôme
minimal.
On écrit A(x) =
i g i (a)x i et l’on définit g A (x, y) =
i g i (y)x i .
Proposition 5. Avec les notations précédentes,
N Q(a)/Q (A) = Res y (μ a (y), g A (x, y)).
296
– On prend b = a ; vérifier que la commande evala(Norm(x-b)) donne le
polynôme minimal. Écrire la matrice A de m a dans la base (1, a, . . . , a 3 )
(commencer par définir ma:=(i,j)->...; puis A:=Matrix(4,ma);). Calculer enfin le polynôme caractéristique de a par rapport à l’extension
Q(a)/Q à l’aide de la commande
LinearAlgebra[CharacteristicPolynomial](A,x);
et comparer.
– On prend b = a + a −1 . Refaire les mêmes calculs et déterminer μ b .
Nous allons maintenant expliquer le nom de la commande Maple. Si
a 1 = a, . . . , a m sont les m racines complexes distinctes du polynôme irréductible
P de degré m et si A est un polynôme donné de Q(a)[x], la norme N Q(a)/Q (A)
est par définition :
N Q(a)/Q (A) =
n
i=1
σ i (A)
où σ i : Q(a) → C est définie par σ i (a) = a i et σ i opère sur A en agissant sur
chaque coefficient. Notant M = Q(a 1 , . . . , a m ) le corps de décomposition de P ,
d’après la théorie de Galois, on a M Gal(M/Q) = Q (cela a été annoncé au chapitre X
et sera démontré rigoureusement au chapitre XIV). On voit donc que N Q(a)/Q (A)
appartient à Q[x].
Proposition 4. Si A est irréductible dans Q(a)[x], alors N Q(a)/Q (A) est égal à une
puissance d’un polynôme irréductible de Q[x].
Corollaire 1. On a N Q(a)/Q (x − b) = μ r
b , où r = [Q(a) : Q(b)].
Démonstration. Soit N Q(a)/Q (A) =
i N
e i
i la factorisation en irréductibles sur Q.
Comme A divise N Q(a)/Q (A) dans Q(a)[x] et est irréductible dans Q(a)[x], il divise
l’un des facteur, disons N 1 . Alors σ i (A) divise σ i (N 1 ) = N 1 pour tout i. Donc
N Q(a)/Q (A) divise N n
1 dans M [x], donc dans Q[x]. Cela démontre la proposition.
Le corollaire montre que N Q(a)/Q (x − b) coïncide avec le polynôme caractéristique de b. Enfin, faisons le lien avec la théorie du résultant, ce qui fournira
une méthode efficace de calcul du polynôme caractéristique, donc du polynôme
minimal.
On écrit A(x) =
i g i (a)x i et l’on définit g A (x, y) =
i g i (y)x i .
Proposition 5. Avec les notations précédentes,
N Q(a)/Q (A) = Res y (μ a (y), g A (x, y)).
296