Travaux pratiques
if n=1 then return({a[1]=x[1]});
else P:=collect(expand(a[n]*mu(t+x[i],i=1..n)),t);
return({seq(a[i]=coeff(P,t,i),i=0..n-1)});
fi;
end:
La commande subs(remplace(m,a,x) union remplace(n,b,y),R) exprime
alors le résultant R comme un élément de Z[x i , y j ]. Le tester pour m = 3 et
n = 4. Vérifier qu’il s’agit d’un polynôme homogène de degré mn. Le démontrer
pour tout m et n à l’aide de la formule
det M =
σ∈S d
ε(σ)m σ(1),1 . . . m σ(d),d ,
sachant que les fonctions symétriques élémentaires s i (donc les a i ) sont homogènes de degré n − i en les x i .
D’autre part, si l’on remplace x i par y j , on obtient un résultant nul. Ainsi
Res(f, g) est divisible par x i − y j dans Q(
x i , y j , a m , b n )[x i ] (où
x i signifie que
l’on omet x i ), donc dans Z[x i , y j , a m , b n ] car x i − y j est unitaire. Les x i − y j
étant premiers entre eux, Res(f, g) est divisible par
i,j (x i − y j ). Le vérifier
sur l’exemple. Quel facteur reste-t-il ? Démontrer finalement la formule (2)
(examiner la contribution de la diagonale, i.e. σ = Id). Noter que l’on utilise
le fait que l’évaluation est un morphisme d’anneaux qui « commute » avec le
déterminant : on peut remplacer les x i par les r i .
Calcul du polynôme minimal
Soient L = Q(a) l’extension de Q définie par la racine a d’un polynôme irréductible P ∈ Z[x] et b = R(a) ∈ L, où R ∈ Q[x]. On désire calculer le polynôme
minimal de b sur Q.
Pour cela, soit m b la multiplication par b, vue comme endomophisme du
Q-espace vectoriel L. Le déterminant P b,L/Q (x) = det(x Id L −m b ) est par définition le polynôme caractéristique de b par rapport à l’extension L/Q. De plus,
on verra (cf. chapitre XIII) :
Proposition 3. Soient L/K une extension finie de degré n, b un élément de L, μ b
le polynôme minimal de b sur K et r = [L : K(b)]. Le polynôme caractéristique
de b par rapport à l’extension L/K est alors P b,L/K = μ r
b .
5. Soit P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, a une racine de P et b ∈ Q(a). On va voir que la
commande evala(Norm(x-b)); de Maple calcule le polynôme caractéristique
de b par rapport à l’extension Q(a)/Q.
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if n=1 then return({a[1]=x[1]});
else P:=collect(expand(a[n]*mu(t+x[i],i=1..n)),t);
return({seq(a[i]=coeff(P,t,i),i=0..n-1)});
fi;
end:
La commande subs(remplace(m,a,x) union remplace(n,b,y),R) exprime
alors le résultant R comme un élément de Z[x i , y j ]. Le tester pour m = 3 et
n = 4. Vérifier qu’il s’agit d’un polynôme homogène de degré mn. Le démontrer
pour tout m et n à l’aide de la formule
det M =
σ∈S d
ε(σ)m σ(1),1 . . . m σ(d),d ,
sachant que les fonctions symétriques élémentaires s i (donc les a i ) sont homogènes de degré n − i en les x i .
D’autre part, si l’on remplace x i par y j , on obtient un résultant nul. Ainsi
Res(f, g) est divisible par x i − y j dans Q(
x i , y j , a m , b n )[x i ] (où
x i signifie que
l’on omet x i ), donc dans Z[x i , y j , a m , b n ] car x i − y j est unitaire. Les x i − y j
étant premiers entre eux, Res(f, g) est divisible par
i,j (x i − y j ). Le vérifier
sur l’exemple. Quel facteur reste-t-il ? Démontrer finalement la formule (2)
(examiner la contribution de la diagonale, i.e. σ = Id). Noter que l’on utilise
le fait que l’évaluation est un morphisme d’anneaux qui « commute » avec le
déterminant : on peut remplacer les x i par les r i .
Calcul du polynôme minimal
Soient L = Q(a) l’extension de Q définie par la racine a d’un polynôme irréductible P ∈ Z[x] et b = R(a) ∈ L, où R ∈ Q[x]. On désire calculer le polynôme
minimal de b sur Q.
Pour cela, soit m b la multiplication par b, vue comme endomophisme du
Q-espace vectoriel L. Le déterminant P b,L/Q (x) = det(x Id L −m b ) est par définition le polynôme caractéristique de b par rapport à l’extension L/Q. De plus,
on verra (cf. chapitre XIII) :
Proposition 3. Soient L/K une extension finie de degré n, b un élément de L, μ b
le polynôme minimal de b sur K et r = [L : K(b)]. Le polynôme caractéristique
de b par rapport à l’extension L/K est alors P b,L/K = μ r
b .
5. Soit P = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, a une racine de P et b ∈ Q(a). On va voir que la
commande evala(Norm(x-b)); de Maple calcule le polynôme caractéristique
de b par rapport à l’extension Q(a)/Q.
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