Thèmes de réflexion
8. Montrer que (
i∈I E i , ϕ) est solution d’un problème universel analogue à celui
exposé ci-dessus.
9. Si (I l ) l∈L est une partition de I, montrer que
i∈I E i est canoniquement
isomorphe au K-espace vectoriel
l∈L F l , avec F l =
i∈I l
E i .
On suppose que (E i ) i∈I est une famille de K-algèbres associatives, commutatives, unitaires.
10. Montrer que le K-espace vectoriel
i∈I E i , muni de la multiplication définie
par (⊗ i∈I x i )(⊗ i∈I y i ) = ⊗ i∈I (x i y i ), est une K-algèbre associative, commutative,
unitaire.
Pour tout indice l ∈ I, on considère le morphisme d’algèbres
f l : E l −→
i∈I
E i
défini par f l (x) = ⊗ i∈I y i , avec y l = x et y i = 1 pour tout i = l.
11. Montrer que pour tout l = m, tout élément de f l (E l ) commute avec tout
élément de f m (E m ).
On appelle produit tensoriel des algèbres E i , que l’on note
(I) E i , la
sous-algèbre de
i∈I E i engendrée par les f i (E i ). Elle est donc formée des sommes
finies d’éléments de la forme ⊗ i∈I x i , où x i = 1, sauf pour un nombre fini d’indices.
12. Montrer que pour tout l ∈ I, f l est un isomorphisme de E l sur la sous-algèbre
f l (E l ) de
(I) E i .
Comme dans le cas de deux algèbres, on peut identifier les éléments unités de
K,
(I) E i et f i (E i ), i parcourant I.
Cas des extensions
On suppose maintenant que (E i ) i∈I est une famille d’extensions de K. On
pose F =
(I) E i et on considère un idéal maximal m de F .
13. Montrer que pour tout i ∈ I, f i (E i ) ∩ m est un idéal de f i (E i ).
14. En déduire que, pour tout i ∈ I, la restriction à f i (E i ) de la projection
canonique π : F −→ F/m est injective.
15. Déduire de ce qui précède que la réunion des corps π(f i (E i )), i ∈ I, engendre
F/m.
16. Montrer que, en posant E = F/m et u i = π ◦ f i , i ∈ I, les conditions décrites
à la remarque (XII.2.3) sont satisfaites.
313
8. Montrer que (
i∈I E i , ϕ) est solution d’un problème universel analogue à celui
exposé ci-dessus.
9. Si (I l ) l∈L est une partition de I, montrer que
i∈I E i est canoniquement
isomorphe au K-espace vectoriel
l∈L F l , avec F l =
i∈I l
E i .
On suppose que (E i ) i∈I est une famille de K-algèbres associatives, commutatives, unitaires.
10. Montrer que le K-espace vectoriel
i∈I E i , muni de la multiplication définie
par (⊗ i∈I x i )(⊗ i∈I y i ) = ⊗ i∈I (x i y i ), est une K-algèbre associative, commutative,
unitaire.
Pour tout indice l ∈ I, on considère le morphisme d’algèbres
f l : E l −→
i∈I
E i
défini par f l (x) = ⊗ i∈I y i , avec y l = x et y i = 1 pour tout i = l.
11. Montrer que pour tout l = m, tout élément de f l (E l ) commute avec tout
élément de f m (E m ).
On appelle produit tensoriel des algèbres E i , que l’on note
(I) E i , la
sous-algèbre de
i∈I E i engendrée par les f i (E i ). Elle est donc formée des sommes
finies d’éléments de la forme ⊗ i∈I x i , où x i = 1, sauf pour un nombre fini d’indices.
12. Montrer que pour tout l ∈ I, f l est un isomorphisme de E l sur la sous-algèbre
f l (E l ) de
(I) E i .
Comme dans le cas de deux algèbres, on peut identifier les éléments unités de
K,
(I) E i et f i (E i ), i parcourant I.
Cas des extensions
On suppose maintenant que (E i ) i∈I est une famille d’extensions de K. On
pose F =
(I) E i et on considère un idéal maximal m de F .
13. Montrer que pour tout i ∈ I, f i (E i ) ∩ m est un idéal de f i (E i ).
14. En déduire que, pour tout i ∈ I, la restriction à f i (E i ) de la projection
canonique π : F −→ F/m est injective.
15. Déduire de ce qui précède que la réunion des corps π(f i (E i )), i ∈ I, engendre
F/m.
16. Montrer que, en posant E = F/m et u i = π ◦ f i , i ∈ I, les conditions décrites
à la remarque (XII.2.3) sont satisfaites.
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