TRAVAUX PRATIQUES
TP.XI. Nombres algébriques et polynôme minimal
On se propose de manipuler, avec Maple, les nombres algébriques (c’està-dire les nombres complexes définis comme zéros a de polynômes P de Q[x],
ou, de façon équivalente, de Z[x]). On travaille donc dans des corps de nombres
Q(a) Q[x]/(P ) (on suppose P irréductible). On va voir comment définir en
Maple de telles extensions et calculer dans Q(a).
L’un des problèmes est de trouver le polynôme minimal de b ∈ Q(a). L’ingrédient essentiel est le résultant, qui permet de calculer la norme d’un polynôme de
Q(a)[x] (voir plus loin). En effet, la norme de x − b est liée au « polynôme caractéristique » de b, donc au polynôme minimal. Nous étudierons en détail le résultant
puis la norme, qui est cruciale également dans l’algorithme de factorisation d’un
polynôme sur un corps de nombres. Ainsi Maple est-il capable de factoriser un
polynôme Q de Q[x] sur Q(a). Bien entendu, on utilise la factorisation sur Q
(algorithme décrit au TP.IX.A). Nous donnons pour finir quelques applications.
Familiarisation
1. Manipulons.
– Tester les commandes irreduc(P) et solve(P) sur différents polynômes
P ∈ Z[x] de bas degré. Par quel type de formules Maple exprime-t-il
les racines ? Pourquoi n’obtient-on pas de telles formules dans tous les
cas ? (Vous en saurez plus au chapitre XVI.) Maple renvoie alors un
« RootOf » (tester x 5 − x + 1 par exemple).
TP.XI. Nombres algébriques et polynôme minimal
On se propose de manipuler, avec Maple, les nombres algébriques (c’està-dire les nombres complexes définis comme zéros a de polynômes P de Q[x],
ou, de façon équivalente, de Z[x]). On travaille donc dans des corps de nombres
Q(a) Q[x]/(P ) (on suppose P irréductible). On va voir comment définir en
Maple de telles extensions et calculer dans Q(a).
L’un des problèmes est de trouver le polynôme minimal de b ∈ Q(a). L’ingrédient essentiel est le résultant, qui permet de calculer la norme d’un polynôme de
Q(a)[x] (voir plus loin). En effet, la norme de x − b est liée au « polynôme caractéristique » de b, donc au polynôme minimal. Nous étudierons en détail le résultant
puis la norme, qui est cruciale également dans l’algorithme de factorisation d’un
polynôme sur un corps de nombres. Ainsi Maple est-il capable de factoriser un
polynôme Q de Q[x] sur Q(a). Bien entendu, on utilise la factorisation sur Q
(algorithme décrit au TP.IX.A). Nous donnons pour finir quelques applications.
Familiarisation
1. Manipulons.
– Tester les commandes irreduc(P) et solve(P) sur différents polynômes
P ∈ Z[x] de bas degré. Par quel type de formules Maple exprime-t-il
les racines ? Pourquoi n’obtient-on pas de telles formules dans tous les
cas ? (Vous en saurez plus au chapitre XVI.) Maple renvoie alors un
« RootOf » (tester x 5 − x + 1 par exemple).