Algèbre T1
– Quel est l’intérêt de la commande alias ?
– Que fait evala ? Que fait allvalues ?
> P:=x^5-x+1: irreduc(P); solve(P);
> a:=RootOf(P,x); a^10; evala(a^10);
> alias(b=RootOf(P,x)): b^10; evala(b^10);
> rac:=allvalues(a);
– Tester la commande factor(P) sur différents polynômes ; enfin, reprendre
l’exemple de la question précédente :
> factor(P);
> factor(P, real);
> factor(P, complex);
> rac1:=map(evalf,[rac]);
> map(r->convert(r,polar),rac1);
Quel type d’algorithme Maple utilise-t-il pour factoriser dans les réels
et les complexes ? Essayer de comprendre comment les racines stockées
dans rac sont ordonnées, en consultant au besoin l’aide de la commande
RootOf,indexed.
– Calculer à la main les expressions suivantes :
> sum(x,x=RootOf(P,x)), sum(x^5,x=RootOf(P,x)),
sum(1/x,x=RootOf(P,x));
(Utiliser les relations entre coefficients et racines, cf. chapitre VIII, paragraphe 11.)
– Les degrés 3 et 4 :
>alias(a=RootOf(x^3+x-1)): allvalues(a);
>a:=’a’: alias(a=RootOf(x^3+x-1)): allvalues(a);
>alias(b=RootOf(x^3+x-1)): allvalues(b);
>P:=sort(x^3+add(c[i]*x^i,i=0..2),x);allvalues(RootOf(P,x));
>P:=sort(x^4+add(c[i]*x^i,i=0..3),x);allvalues(RootOf(P,x));
2. Soit a une racine du polynôme P (x) = x 5 + x 2 + 4 et soit R(x) = x 9 + x 6 + 1.
Définir P, R et a sous Maple ; que donne evala(subs(x=a,R)); ? Vérifier
qu’il s’agit de la valeur en a du reste de la division euclidienne de R par P ,
conformément à l’isomorphisme Q[a] Q[x]/(P ) qui fait correspondre à R(a)
la classe de R(x) dans le quotient Q[x]/(P ). On utilisera la commande Maple
rem.
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