Algèbre T1
5. Déduire de ce qui précède que tout k-automorphisme de k(X) est de la forme
f (X) → f (aX + bcX + d), avec a, b, c, d ∈ k et ad − bc = 0.
La suite de ce TR est consacrée à la démonstration du théorème de Lüroth :
Soient k un corps, K = k(X), L un sous-corps de K contenant strictement k. Il existe y ∈ L transcendant sur k tel que L = k(y).
6. Montrer que X (donc k(X)) est algébrique sur L. En déduire que l’extension
L/k n’est pas de degré fini.
On note F (T ) = T n + a 1 (X)T n−1 + . . . + a n (X) le polynôme minimal de X
sur L.
7. Montrer qu’on peut écrire les coefficients a i (X) (qui sont des fractions rationnelles que l’on suppose irréductibles) sous la forme b i (X)/b 0 (X), avec b 0 (X) de
degré minimal. (b 0 (X) est le ppcm des dénominateurs des a i (X)).
On considère alors le polynôme G(X, T ) = b 0 (X)T n +b 1 (X)T n−1 +. . .+b n (X)
et on note n le degré de G par rapport à la variable X.
8. Montrer que :
– Pour tout i, b i (X)/b 0 (X) appartient à L.
– Les b i (X) sont premiers entre eux dans leur ensemble.
– Il existe i = 0 tel que b i (X)/b 0 (X) n’appartienne pas à k.
On note y un élément b i (X)/b 0 (X) /
∈ k et on pose
H(X, T ) = b 0 (X)b i (T ) − b i (X)b 0 (T ).
9. Montrer qu’il existe f (X, T ) ∈ k[X, T ] tel que H(X, T ) = f (X, T )G(X, T ).
10. Montrer que le polynôme f (X, T ) est constant et en déduire que n = n.
(Utiliser l’antisymétrie en X et T de H(X, T ) et raisonner sur les degrés.)
11. Montrer que [K : k(y)] n et en déduire que L = k(y).
288
5. Déduire de ce qui précède que tout k-automorphisme de k(X) est de la forme
f (X) → f (aX + bcX + d), avec a, b, c, d ∈ k et ad − bc = 0.
La suite de ce TR est consacrée à la démonstration du théorème de Lüroth :
Soient k un corps, K = k(X), L un sous-corps de K contenant strictement k. Il existe y ∈ L transcendant sur k tel que L = k(y).
6. Montrer que X (donc k(X)) est algébrique sur L. En déduire que l’extension
L/k n’est pas de degré fini.
On note F (T ) = T n + a 1 (X)T n−1 + . . . + a n (X) le polynôme minimal de X
sur L.
7. Montrer qu’on peut écrire les coefficients a i (X) (qui sont des fractions rationnelles que l’on suppose irréductibles) sous la forme b i (X)/b 0 (X), avec b 0 (X) de
degré minimal. (b 0 (X) est le ppcm des dénominateurs des a i (X)).
On considère alors le polynôme G(X, T ) = b 0 (X)T n +b 1 (X)T n−1 +. . .+b n (X)
et on note n le degré de G par rapport à la variable X.
8. Montrer que :
– Pour tout i, b i (X)/b 0 (X) appartient à L.
– Les b i (X) sont premiers entre eux dans leur ensemble.
– Il existe i = 0 tel que b i (X)/b 0 (X) n’appartienne pas à k.
On note y un élément b i (X)/b 0 (X) /
∈ k et on pose
H(X, T ) = b 0 (X)b i (T ) − b i (X)b 0 (T ).
9. Montrer qu’il existe f (X, T ) ∈ k[X, T ] tel que H(X, T ) = f (X, T )G(X, T ).
10. Montrer que le polynôme f (X, T ) est constant et en déduire que n = n.
(Utiliser l’antisymétrie en X et T de H(X, T ) et raisonner sur les degrés.)
11. Montrer que [K : k(y)] n et en déduire que L = k(y).
288