Thèmes de réflexion
Quadrature du cercle
Le problème est : « Peut-on construire à la règle et au compas un carré
ayant même aire qu’un disque donné ? ».
Supposons que le disque donné soit le disque unité, d’aire π. Le problème
posé revient donc à construire le point de coordonnées (0,
√ π) à partir de
P 0 = {(0, 0), (1, 0)}.
7. Montrer que si la construction du point (0,
√
π) était possible, [Q(π) : Q] serait
fini.
8. Déduire de ce résultat et de la transcendance de π que la quadrature du cercle
est impossible.
♠ TR.XI.B. Théorème de Lüroth
Les résultats concernant les extensions transcendantes établis dans ce chapitre
conduisent à la question suivante :
Soit E/K une extension transcendante pure : toute sous-extension de E/K
est-elle une extension transcendante pure de K ?
Nous allons voir ci-dessous que c’est bien le cas lorsque l’extension E/K est
de degré de transcendance égal à 1.
Un théorème, dû à Castelnuovo, dont la démonstration dépasse largement le
niveau de ce livre, affirme que c’est encore vrai pour les extensions transcendantes
pures de C dont le degré de transcendance est égal à 2. Il existe des contreexemples pour les extensions de C de degré de transcendance égal à 3.
Soient k un corps, K = k(X), f (X) = 0 et g(X) = 0 des éléments distincts
premiers entre eux de k[X] et α =
f (X)
g(X) . Soit T une indéterminée : on peut
exprimer X comme racine du polynôme h(T ) = αg(T ) − f (T ).
1. Montrer que le polynôme h(T ) est non nul.
2. En déduire que K est algébrique sur k(α) et que α est transcendant sur k.
3. Montrer que le polynôme h(T ) est irréductible dans k(α)[T ]. (Faire un raisonnement par l’absurde.)
4. Montrer que [K : k(α)] = sup(deg(f ), deg(g)).
Ce qui précède est une application explicite du théorème (XI.2.2), dans le cas
de l’extension k(X)/k.
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Quadrature du cercle
Le problème est : « Peut-on construire à la règle et au compas un carré
ayant même aire qu’un disque donné ? ».
Supposons que le disque donné soit le disque unité, d’aire π. Le problème
posé revient donc à construire le point de coordonnées (0,
√ π) à partir de
P 0 = {(0, 0), (1, 0)}.
7. Montrer que si la construction du point (0,
√
π) était possible, [Q(π) : Q] serait
fini.
8. Déduire de ce résultat et de la transcendance de π que la quadrature du cercle
est impossible.
♠ TR.XI.B. Théorème de Lüroth
Les résultats concernant les extensions transcendantes établis dans ce chapitre
conduisent à la question suivante :
Soit E/K une extension transcendante pure : toute sous-extension de E/K
est-elle une extension transcendante pure de K ?
Nous allons voir ci-dessous que c’est bien le cas lorsque l’extension E/K est
de degré de transcendance égal à 1.
Un théorème, dû à Castelnuovo, dont la démonstration dépasse largement le
niveau de ce livre, affirme que c’est encore vrai pour les extensions transcendantes
pures de C dont le degré de transcendance est égal à 2. Il existe des contreexemples pour les extensions de C de degré de transcendance égal à 3.
Soient k un corps, K = k(X), f (X) = 0 et g(X) = 0 des éléments distincts
premiers entre eux de k[X] et α =
f (X)
g(X) . Soit T une indéterminée : on peut
exprimer X comme racine du polynôme h(T ) = αg(T ) − f (T ).
1. Montrer que le polynôme h(T ) est non nul.
2. En déduire que K est algébrique sur k(α) et que α est transcendant sur k.
3. Montrer que le polynôme h(T ) est irréductible dans k(α)[T ]. (Faire un raisonnement par l’absurde.)
4. Montrer que [K : k(α)] = sup(deg(f ), deg(g)).
Ce qui précède est une application explicite du théorème (XI.2.2), dans le cas
de l’extension k(X)/k.
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