Algèbre T1
le sous-corps K i de R par K i = K i−1 (x i , y i ). On obtient donc une suite d’extensions
K 0 ⊂ K 1 ⊂ . . . ⊂ K i ⊂ . . . ⊂ K n ⊂ R.
1. Avec les notations ci-dessus, montrer que
[K i−1 (x i ) : K i−1 ] = 1 ou 2
[K i−1 (y i ) : K i−1 ] = 1 ou 2.
(En écrivant les équations des droites ou cercles dont le point M i est intersection,
on montrera que les polynômes minimaux de x i et y i sont de degré 1 ou 2.)
2. Soit M = (x, y) un point de R 2 constructible à partir de P 0 . Montrer que les
extensions K 0 (x)/K 0 et K 0 (y)/K 0 ont un degré qui est une puissance de 2.
Duplication du cube
Le problème est : « Peut-on construire à la règle et au compas l’arête
d’un cube dont le volume soit le double de celui d’un cube donné ? ».
On peut supposer que le cube donné est le cube unité et on pose
P 0 = {(0, 0), (1, 0)}.
3. Montrer que le problème posé revient à construire un segment de longueur a,
avec a racine du polynôme X 3 − 2.
4. En déduire que la duplication du cube est impossible.
Trisection de l’angle
Le problème est : « Peut-on construire à la règle et au compas deux
droites qui divisent un angle donné quelconque θ en trois angles
égaux ? ».
On considère le cas θ =
π
3 . Le problème posé revient alors à construire α ∈ [0, 1]
tel que α = cos
π
9 , donc aussi β = 2α.
5. Montrer que le polynôme minimal de β est X 3 −3X −3. (On utilisera la formule
cos(3a) = 4cos 3 (a) − 3cos(a).)
6. En déduire que la trisection de l’angle est impossible.
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