THÈMES DE RÉFLEXION
♥ TR.XI.A. Constructions à la règle et au compas
Nous allons voir dans ce TR que, malgré le caractère très élémentaire des
notions algébriques introduites dans les chapitres qui précèdent, ces notions permettent de résoudre des problèmes géométriques – quadrature du cercle, trisection de l’angle, duplication du cube – qui étaient restés sans réponse pendant des
siècles. Ceci est un exemple de la puissance des méthodes algébriques en géométrie. Nous compléterons cette étude au chapitre XVII en montrant comment la
théorie de Galois permet de déterminer les polygônes qui sont constructibles à la
règle et au compas.
Nous allons tout d’abord donner un formalisme algébrique qui permet de décrire les constructions géométriques à la règle et au compas.
Soit P 0 un ensemble de points du plan euclidien R 2 . On considère deux types
de constructions géométriques :
(α) Tracer une droite passant par deux points de P 0 .
(β) Tracer un cercle de centre un point de P 0 et de rayon égal à la distance
entre deux points de P 0 .
Tout point de R 2 obtenu comme intersection de deux droites ou cercles distincts
au moyen des opérations (α) ou (β) est dit constructible en une étape.
Un point M de R 2 est dit constructible à partir de P 0 s’il existe une suite
finie de points M 1 , M 2 , . . . , M n = M de R 2 , tels que M i+1 , 1 i n − 1, soit un
point constructible en une étape à partir de P 0 ∪ {M 1 , . . . , M i }.
On suppose R 2 rapporté à un système de coordonnées et on repère un point par
ses coordonnées (x, y). On note K 0 le sous-corps de R engendré par les coordonnées
des points de P 0 = {P i (x i , y i )} i∈I 0 , K 0 = Q(x i , y i ) i∈Io .
Soit M n un point constructible de R 2 , par une suite M 1 , . . . , M i , . . . , M n : en
notant (x i , y i ), 1 i n, les coordonnées du point M i , on définit par récurrence
♥ TR.XI.A. Constructions à la règle et au compas
Nous allons voir dans ce TR que, malgré le caractère très élémentaire des
notions algébriques introduites dans les chapitres qui précèdent, ces notions permettent de résoudre des problèmes géométriques – quadrature du cercle, trisection de l’angle, duplication du cube – qui étaient restés sans réponse pendant des
siècles. Ceci est un exemple de la puissance des méthodes algébriques en géométrie. Nous compléterons cette étude au chapitre XVII en montrant comment la
théorie de Galois permet de déterminer les polygônes qui sont constructibles à la
règle et au compas.
Nous allons tout d’abord donner un formalisme algébrique qui permet de décrire les constructions géométriques à la règle et au compas.
Soit P 0 un ensemble de points du plan euclidien R 2 . On considère deux types
de constructions géométriques :
(α) Tracer une droite passant par deux points de P 0 .
(β) Tracer un cercle de centre un point de P 0 et de rayon égal à la distance
entre deux points de P 0 .
Tout point de R 2 obtenu comme intersection de deux droites ou cercles distincts
au moyen des opérations (α) ou (β) est dit constructible en une étape.
Un point M de R 2 est dit constructible à partir de P 0 s’il existe une suite
finie de points M 1 , M 2 , . . . , M n = M de R 2 , tels que M i+1 , 1 i n − 1, soit un
point constructible en une étape à partir de P 0 ∪ {M 1 , . . . , M i }.
On suppose R 2 rapporté à un système de coordonnées et on repère un point par
ses coordonnées (x, y). On note K 0 le sous-corps de R engendré par les coordonnées
des points de P 0 = {P i (x i , y i )} i∈I 0 , K 0 = Q(x i , y i ) i∈Io .
Soit M n un point constructible de R 2 , par une suite M 1 , . . . , M i , . . . , M n : en
notant (x i , y i ), 1 i n, les coordonnées du point M i , on définit par récurrence