Chapitre XI. Extensions algébriques – extensions transcendantes
On examine maintenant le second membre de (XI.2) :
|f (tβ j )|
| c | s | β j | p−1 m(j) p
(p − 1)!
, où m(j) = sup 0t1 | Q(tβ j ) | .
D’où
−
r
j=1
β j
1
0
e
(1−t)β j f (tβ j )dt
r
j=1
| β j | p | c | s m(j) p B
(p − 1)!
avec
B = sup j
1
0
e
(1−t)β j dt
.
Donc cette expression tend vers 0 quand p tend vers +∞. Comme c’est une
fonction de p, à valeurs dans Z, elle devrait être nulle pour p assez grand. Or le
premier membre est non nul pour p assez grand. Contradiction.
284
On examine maintenant le second membre de (XI.2) :
|f (tβ j )|
| c | s | β j | p−1 m(j) p
(p − 1)!
, où m(j) = sup 0t1 | Q(tβ j ) | .
D’où
−
r
j=1
β j
1
0
e
(1−t)β j f (tβ j )dt
r
j=1
| β j | p | c | s m(j) p B
(p − 1)!
avec
B = sup j
1
0
e
(1−t)β j dt
.
Donc cette expression tend vers 0 quand p tend vers +∞. Comme c’est une
fonction de p, à valeurs dans Z, elle devrait être nulle pour p assez grand. Or le
premier membre est non nul pour p assez grand. Contradiction.
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