XI.3. Appendice
et on considère
F (x) = f (x) + f
(x) + . . . + f
(s+p+r−1) (x)
(on a f (s+p+r) (x) = 0). Alors
d
dx
(e
−x F (x)) = e
−x (F
(x) − F (x)) = −e
−x f (x),
d’où
e
−x F (x) − F (0) = −
x
0
e
−y f (y)dy.
On fait le changement de variable y = tx et on trouve
F (x) − e
x F (0) = −x
1
0
e
(1−t)x f (tx)dt.
On fait prendre à x les valeurs β 1 , . . . , β r et on fait la somme. Puisque
e
β 1 + . . . + e
βr + k = 0,
on trouve
r
j=1
F (β j ) + kF (0) = −
r
j=1
β j
1
0
e
(1−t)β j f (tβ j )dt.
(XI.2)
On va montrer que le premier membre est un entier non nul pour p assez
grand.
Puisque Q(β j ) = 0, on a
r
j=1 f (q) (β j ) = 0, pour 0 < q < p. Pour q p,
f (q) (β j ) a un facteur p. Pour tout q,
r
j=1 f (q) (β j ) est un polynôme symétrique
en les β j de degré inférieur à s. C’est donc un polynôme de degré inférieur à s en
les
c i
c . Le facteur c s fait que ces expressions sont dans Z. D’où, si q p,
r
j=1
f
(q) (β j ) = pk q ∈ Z.
On regarde maintenant F (0). On a :
f
(q) (0) =
⎧
⎨
⎩
0
q p − 2
c s c
p
r
q = p − 1
l q p
q p
avec l q ∈ Z. Donc le premier membre de (XI.2) est du type Kp + kc s c
p
r , K ∈ Z.
Comme k = 0, c = 0, c r = 0, si on considère p > sup(k, | c |, | c r |), le premier
membre de (XI.2) est un entier non divisible par p, donc non nul.
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