Chapitre XI. Extensions algébriques – extensions transcendantes
Pour −1 < x < 1, la fonction (1 − x 2 ) n cos(
π
2 x) est strictement positive, donc
J n > 0 pour tout n.
Mais | J n |
|a| 2n+1
n!
1
−1 cos(
π
2 x)dx C
|a| 2n+1
n! . D’où lim n→+∞ J n = 0. Donc,
il existe N tel que pour tout n > N, J n = 0. Contradiction.
Montrons que π est transcendant sur Q.
Supposons que π soit algébrique sur Q. Comme i (i 2 = −1) est algébrique,
iπ est algébrique. Donc il existe un polynôme P 1 (X) ∈ Q[X] ayant pour racines
α 1 = iπ, α 2 , . . . , α n . Mais, e iπ + 1 = 0, donc
(e
α 1 + 1)(e
α 2 + 1) . . . (e
αn + 1) = 0.
(XI.1)
On va construire un polynôme appartenant à Z[X] dont les racines seront
toutes les sommes α i 1 + . . . + α ir qui apparaissent comme puissances de e dans le
développement de l’expression (XI.1).
Considérons tous les éléments α s + α t , 1 s n, 1 t n. Les polynômes symétriques élémentaires en les α s + α t sont des polynômes symétriques
en les α 1 , . . . , α n . Ils s’expriment donc en fonction des polynômes symétriques
élémentaires en les α 1 , . . . , α n , (cf. VIII.11). Ces polynômes α t sont racines d’un
polynôme P 2 (X) ∈ Q[X]. De la même façon, les α i 1 + . . . + α i k sont racines d’un
polynôme P k (X) ∈ Q[X].
On considère le polynôme
P 1 (X)P 2 (X) . . . P n (X) ∈ Q[X]
dont les racines sont les exposants des puissances de e dans l’expression développée
de (XI .1). En multipliant par un entier, on obtient un polynôme de Z[X], et
en divisant par une puissance de X convenable, on obtient un polynôme Q(X)
dont les racines sont les exposants non nuls β 1 , . . . , β r qui apparaissent dans le
développement de (XI.1),
e
β 1 + e
β 2 + . . . + e
βr + e
0 + . . . + e
0 = e
β 1 + . . . + e
βr + k = 0,
avec k > 0. Supposons que
Q(X) = cX
r + c 1 X
r−1 + . . . + c r .
Alors c r = 0 puisque Q(0) = 0. On pose
f (x) =
c s x p−1 Q(x) p
(p − 1)!
avec s = rp − 1, p premier
282