XI.3. Appendice
Remarques XI.2.5. Il résulte de ce qui précède que si E/K est une extension de
degré de transcendance n, alors :
a) Tout système de générateurs a au moins n éléments. S’il en existe un ayant
n éléments, c’est une base pure (et E est donc une extension pure de K).
b) Toute partie de E algébriquement libre sur K a au plus n éléments. S’il en
existe une ayant n éléments, c’est une base de transcendance de E sur K.
Le théorème (XI.2.3) et la remarque qui le suit montrent que l’extension transcendante pure évoquée dans le théorème (XI.2.2) est unique, à isomorphisme près.
Attention. La notion d’extension transcendante pure n’est pas stable par sousextension (cf. TR.XI.B).
XI.3. Appendice
Théorème. Le nombre π est irrationnel et transcendant sur Q.
Démonstration (cf. [27]). On remarquera que si f : Z −→ Z est une fonction
telle que
lim n→+∞ f (n) = 0,
alors il existe N tel que pour tout n > N, f (n) = 0.
Montrons que π est irrationnel.
On considère
I n =
1
−1
(1 − x
2 )
n cos(αx)dx.
Une intégration par parties donne, pour n 2
α
2 I n = 2n(2n − 1)I n−1 − 4n(n − 1)I n−2 ,
d’où, par récurrence,
α
2n+1 I n = n![P (α)sinα + Q(α)cosα]
où P, Q ∈ Z[x], avec d ◦ P < 2n + 1 et d ◦ Q < 2n + 1. Supposons que π =
a
b avec
(a, b) = 1, a, b ∈ Z. On pose α =
π
2 . Alors
J n =
a 2n+1 I n
n!
∈ Z.
On a J n =
a 2n+1
n!
1
−1 (1 − x 2 ) n (cos
π
2 x)dx.
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