Chapitre XI. Extensions algébriques – extensions transcendantes
Nous allons maintenant montrer, suivant un scénario analogue à celui utilisé
dans le cadre des espaces vectoriels, que toutes les bases de transcendance d’une
extension ont le même cardinal.
Proposition XI.2.5 (théorème d’échange). Soient E/K une extension, A une partie
de E telle que E soit algébrique sur K(A) et B une partie de E algébriquement
libre sur K. Alors, il existe une partie C de A telle que B ∪ C soit une base de
transcendance de E sur K et que B ∩ C = ∅.
Démonstration. Si E est algébrique sur K(A), alors E est algébrique sur K(A∪B).
Or B est contenu dans A ∪ B et B est algébriquement libre sur K ; on en déduit
qu’il existe dans A ∪ B une partie algébriquement libre maximale contenant B.
Théorème XI.2.3. Si une extension E/K a une base de transcendance sur K qui
est finie, toutes les bases de transcendance de E sur K ont même cardinal.
Démonstration. Soit B une base de transcendance de E sur K, avec card(B) = n.
Si n = 0, alors E est algébrique sur K et toutes les bases de transcendance de
E sur K sont vides.
Si n = 0, supposons le résultat vrai pour les extensions dont une base est de
cardinal inférieur ou égal à n − 1. Soit B une autre base de transcendance de
E sur K. Supposons que B ne soit pas contenue dans B (sinon B = B) et soit
x ∈ B , x /
∈ B. D’après le théorème d’échange (XI.2.5), il existe C ⊂ B telle que
C ∪ {x} soit une base de transcendance de E sur K et x /
∈ C. Puisque B est
algébriquement libre maximale, on a C = B, i.e. Card(C) n − 1. On considère
K = K(x) et C = B \ {x}. Alors C et C sont algébriquement libres sur K
(d’après la proposition XI.2.2) et, comme K (C ) = K(B ), E est algébrique sur
K (C) et K (C ). Autrement dit, C et C sont deux bases de transcendance de E
sur K . Comme Card(C) n − 1, il en est de même pour C , par hypothèse de
récurrence. Donc B a au plus n éléments. On a donc montré que Card(B) = n
implique Card(B ) n. Cela donne le résultat, car si Card(B ) < n, le même
raisonnement appliqué dans l’autre sens donne Card(B) < n.
Remarque XI.2.4. Ce résultat est encore vrai pour les bases infinies, mais la démonstration dans ce cas est beaucoup plus compliquée.
Définition XI.2.5. Soit E/K une extension ayant une base de transcendance sur
K qui est finie. On appelle degré de transcendance de E sur K le cardinal
d’une base de transcendance de E sur K.
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Nous allons maintenant montrer, suivant un scénario analogue à celui utilisé
dans le cadre des espaces vectoriels, que toutes les bases de transcendance d’une
extension ont le même cardinal.
Proposition XI.2.5 (théorème d’échange). Soient E/K une extension, A une partie
de E telle que E soit algébrique sur K(A) et B une partie de E algébriquement
libre sur K. Alors, il existe une partie C de A telle que B ∪ C soit une base de
transcendance de E sur K et que B ∩ C = ∅.
Démonstration. Si E est algébrique sur K(A), alors E est algébrique sur K(A∪B).
Or B est contenu dans A ∪ B et B est algébriquement libre sur K ; on en déduit
qu’il existe dans A ∪ B une partie algébriquement libre maximale contenant B.
Théorème XI.2.3. Si une extension E/K a une base de transcendance sur K qui
est finie, toutes les bases de transcendance de E sur K ont même cardinal.
Démonstration. Soit B une base de transcendance de E sur K, avec card(B) = n.
Si n = 0, alors E est algébrique sur K et toutes les bases de transcendance de
E sur K sont vides.
Si n = 0, supposons le résultat vrai pour les extensions dont une base est de
cardinal inférieur ou égal à n − 1. Soit B une autre base de transcendance de
E sur K. Supposons que B ne soit pas contenue dans B (sinon B = B) et soit
x ∈ B , x /
∈ B. D’après le théorème d’échange (XI.2.5), il existe C ⊂ B telle que
C ∪ {x} soit une base de transcendance de E sur K et x /
∈ C. Puisque B est
algébriquement libre maximale, on a C = B, i.e. Card(C) n − 1. On considère
K = K(x) et C = B \ {x}. Alors C et C sont algébriquement libres sur K
(d’après la proposition XI.2.2) et, comme K (C ) = K(B ), E est algébrique sur
K (C) et K (C ). Autrement dit, C et C sont deux bases de transcendance de E
sur K . Comme Card(C) n − 1, il en est de même pour C , par hypothèse de
récurrence. Donc B a au plus n éléments. On a donc montré que Card(B) = n
implique Card(B ) n. Cela donne le résultat, car si Card(B ) < n, le même
raisonnement appliqué dans l’autre sens donne Card(B) < n.
Remarque XI.2.4. Ce résultat est encore vrai pour les bases infinies, mais la démonstration dans ce cas est beaucoup plus compliquée.
Définition XI.2.5. Soit E/K une extension ayant une base de transcendance sur
K qui est finie. On appelle degré de transcendance de E sur K le cardinal
d’une base de transcendance de E sur K.
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