XI.2. Extensions transcendantes
algébrique sur K(B). Par conséquent, x est algébrique sur K(L \ {x}), ce qui est
contraire à l’hypothèse.
Définition XI.2.4. Soit E/K une extension. On appelle base de transcendance de E sur K un élément maximal de l’ensemble, ordonné par inclusion,
des parties de E algébriquement libres sur K.
Remarque XI.2.3. D’après le lemme de Zorn (cf. l’appendice en fin de cet ouvrage),
un tel élément maximal existe.
Proposition XI.2.4. Soit E/K une extension. Une partie B de E est une base de
transcendance de E sur K si et seulement si B est algébriquement libre sur K et
E est algébrique sur K(B).
Démonstration. Supposons que B soit algébriquement libre sur K et que E soit algébrique sur K(B) : alors B est algébriquement libre maximale. En effet, tout élément x ∈ E, x ∈ B, est algébrique sur K(B). Donc d’après la proposition (XI.2.3),
L = B ∪ {x} ne peut être algébriquement libre sur K.
Réciproquement, soit B ⊂ E une partie algébriquement libre maximale. Alors
tout élément x ∈ B, x ∈ E, ne peut être transcendant sur K(B), sinon B ∪ {x}
serait algébriquement libre sur K d’après le corollaire (XI.2.1).
On en déduit le résultat suivant :
Théorème XI.2.2. Toute extension E/K est une extension algébrique d’une extension transcendante pure de K (cf. remarque XI.2.5 ci-dessous).
Attention. Une base pure d’une extension transcendante pure de K est une
base de transcendance. Mais une extension transcendante E de K n’est pas nécessairement une extension transcendante pure, même si tous les éléments de E\K
sont transcendants sur K, (cf. exercice XI.4 ci-dessous).
Exercice XI.4. (¶) Soient u un nombre réel transcendant sur Q, K = Q(u), α une
racine de X 2 + u 2 + 1 dans C et E = K(α).
a) Montrer que le polynôme X 2 + u 2 + 1 est irréductible dans K[X].
b) Montrer que tout élément de E \ Q est transcendant sur Q.
c) Montrer que E n’est pas une extension transcendante pure de Q. (Indication : d’après la proposition (XI.2.4), Q(u)/Q est une extension transcendante
pure et utiliser la dernière remarque de (XI.2.5).)
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algébrique sur K(B). Par conséquent, x est algébrique sur K(L \ {x}), ce qui est
contraire à l’hypothèse.
Définition XI.2.4. Soit E/K une extension. On appelle base de transcendance de E sur K un élément maximal de l’ensemble, ordonné par inclusion,
des parties de E algébriquement libres sur K.
Remarque XI.2.3. D’après le lemme de Zorn (cf. l’appendice en fin de cet ouvrage),
un tel élément maximal existe.
Proposition XI.2.4. Soit E/K une extension. Une partie B de E est une base de
transcendance de E sur K si et seulement si B est algébriquement libre sur K et
E est algébrique sur K(B).
Démonstration. Supposons que B soit algébriquement libre sur K et que E soit algébrique sur K(B) : alors B est algébriquement libre maximale. En effet, tout élément x ∈ E, x ∈ B, est algébrique sur K(B). Donc d’après la proposition (XI.2.3),
L = B ∪ {x} ne peut être algébriquement libre sur K.
Réciproquement, soit B ⊂ E une partie algébriquement libre maximale. Alors
tout élément x ∈ B, x ∈ E, ne peut être transcendant sur K(B), sinon B ∪ {x}
serait algébriquement libre sur K d’après le corollaire (XI.2.1).
On en déduit le résultat suivant :
Théorème XI.2.2. Toute extension E/K est une extension algébrique d’une extension transcendante pure de K (cf. remarque XI.2.5 ci-dessous).
Attention. Une base pure d’une extension transcendante pure de K est une
base de transcendance. Mais une extension transcendante E de K n’est pas nécessairement une extension transcendante pure, même si tous les éléments de E\K
sont transcendants sur K, (cf. exercice XI.4 ci-dessous).
Exercice XI.4. (¶) Soient u un nombre réel transcendant sur Q, K = Q(u), α une
racine de X 2 + u 2 + 1 dans C et E = K(α).
a) Montrer que le polynôme X 2 + u 2 + 1 est irréductible dans K[X].
b) Montrer que tout élément de E \ Q est transcendant sur Q.
c) Montrer que E n’est pas une extension transcendante pure de Q. (Indication : d’après la proposition (XI.2.4), Q(u)/Q est une extension transcendante
pure et utiliser la dernière remarque de (XI.2.5).)
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