Chapitre XI. Extensions algébriques – extensions transcendantes
Démonstration. Pour que α soit racine multiple de M α (X), il faut et il suffit que M
α (α) = 0, où M désigne le polynôme dérivé de M , donc, d’après
le théorème (XI.1.1.(ii)), que M
α (x) soit un multiple de M α (X). Comme
deg(M
α (X)) < deg(M α (X)), ceci implique que M
α (X) = 0. Mais M
α (X) = 0
est équivalent à M α (X) ∈ K[X p ]. En effet, si on écrit M α (X) =
k a k X k , alors
M
α (X) =
k ka k X k−1 et M
α (X) = 0 est équivalent à ka k = 0 pour tout k, i.e.
a k = 0 pour tout k non multiple de p.
Corollaire XI.1.1. Soient K un corps de caractéristique nulle, E une extension de
K et P (X) ∈ K[X] un polynôme irréductible. Toute racine de P (X) appartenant
à E est simple.
Exercice XI.3. Étude des extensions de degré deux
1. On étudie d’abord les extensions K de degré 2 de Q, K ⊂ R.
a) Montrer que toute extension de degré 2 de Q est de la forme Q(
√
d), où d
est un entier relatif, d = 0, 1, sans facteur carré.
b) Montrer que si d et d sont deux tels éléments, avec d = d , les extensions
Q(
√
d)/Q et Q(
√
d )/Q ne sont pas Q-isomorphes.
c) Soient d un entier relatif, d = 0, 1, sans facteur carré et r ∈ Q. Montrer que
Q(
√
d) = Q(
√ r) si et seulement si r/d est un carré non nul de Q.
2. Soient K un corps de caractéristique différente de 2 et L/K une extension.
a) Montrer que [L : K] = 2 si et seulement s’il existe Δ ∈ K \ K 2 et δ ∈ L
tels que δ 2 = Δ et L = K(δ).
b) On suppose que [L : K] = 2. Déduire de ce qui précède que le groupe
Gal(L/K) est isomorphe à Z/2Z, engendré par l’application σ définie par
σ(a + bδ) = a − bδ.
XI.2. Extensions transcendantes
Définition XI.2.1. Soit E/K une extension. Un élément de E qui n’est pas algébrique sur K est dit transcendant sur K. Si l’extension E n’est pas algébrique, elle est dite transcendante (sur K).
Remarque XI.2.1. Un élément α ∈ E est transcendant sur K si et seulement si
les éléments α n , n ∈ N, sont linéairement indépendants sur K. Dans ce cas,
dim K K(α) = +∞ : il en est donc de même pour dim K E.
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Démonstration. Pour que α soit racine multiple de M α (X), il faut et il suffit que M
α (α) = 0, où M désigne le polynôme dérivé de M , donc, d’après
le théorème (XI.1.1.(ii)), que M
α (x) soit un multiple de M α (X). Comme
deg(M
α (X)) < deg(M α (X)), ceci implique que M
α (X) = 0. Mais M
α (X) = 0
est équivalent à M α (X) ∈ K[X p ]. En effet, si on écrit M α (X) =
k a k X k , alors
M
α (X) =
k ka k X k−1 et M
α (X) = 0 est équivalent à ka k = 0 pour tout k, i.e.
a k = 0 pour tout k non multiple de p.
Corollaire XI.1.1. Soient K un corps de caractéristique nulle, E une extension de
K et P (X) ∈ K[X] un polynôme irréductible. Toute racine de P (X) appartenant
à E est simple.
Exercice XI.3. Étude des extensions de degré deux
1. On étudie d’abord les extensions K de degré 2 de Q, K ⊂ R.
a) Montrer que toute extension de degré 2 de Q est de la forme Q(
√
d), où d
est un entier relatif, d = 0, 1, sans facteur carré.
b) Montrer que si d et d sont deux tels éléments, avec d = d , les extensions
Q(
√
d)/Q et Q(
√
d )/Q ne sont pas Q-isomorphes.
c) Soient d un entier relatif, d = 0, 1, sans facteur carré et r ∈ Q. Montrer que
Q(
√
d) = Q(
√ r) si et seulement si r/d est un carré non nul de Q.
2. Soient K un corps de caractéristique différente de 2 et L/K une extension.
a) Montrer que [L : K] = 2 si et seulement s’il existe Δ ∈ K \ K 2 et δ ∈ L
tels que δ 2 = Δ et L = K(δ).
b) On suppose que [L : K] = 2. Déduire de ce qui précède que le groupe
Gal(L/K) est isomorphe à Z/2Z, engendré par l’application σ définie par
σ(a + bδ) = a − bδ.
XI.2. Extensions transcendantes
Définition XI.2.1. Soit E/K une extension. Un élément de E qui n’est pas algébrique sur K est dit transcendant sur K. Si l’extension E n’est pas algébrique, elle est dite transcendante (sur K).
Remarque XI.2.1. Un élément α ∈ E est transcendant sur K si et seulement si
les éléments α n , n ∈ N, sont linéairement indépendants sur K. Dans ce cas,
dim K K(α) = +∞ : il en est donc de même pour dim K E.
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