XI.1. Extensions algébriques
Soit f un K-endomorphisme de E : la restriction de f à R P est une application
de R P dans R P , qui est injective puisque restriction d’un morphisme de corps,
donc surjective puisque le cardinal de R P est fini. On en déduit que f : E → E
est surjective.
Définition XI.1.4. On appelle nombre algébrique tout nombre complexe algébrique sur Q.
Théorème XI.1.3. L’ensemble A des nombres algébriques est un corps et c’est une
extension algébrique de Q, de degré infini.
Démonstration. Un nombre complexe α appartient à A si et seulement si
[Q(α) : Q] < +∞. Soient α et β des éléments de A : alors,
– comme Q(−α) = Q(α), on en déduit que −α appartient à A ;
– comme Q(α + β) ⊆ Q(α, β) et [Q(α, β) : Q] = [Q(α, β) : Q(α)][Q(α) : Q],
on en déduit que [Q(α + β) : Q] < +∞, donc que (α + β) appartient à A.
On démontre de la même manière que (αβ) et α −1 , si α = 0, appartiennent
à A. Autrement dit, A est stable par somme, produit et inverse, c’est donc un
sous-corps de C.
Montrons que le degré de A sur Q ne peut être fini. En effet, le polynôme
X p−1 + X p−2 + . . . + X + 1, où p est un nombre premier, est irréductible sur Q
(cf. exemple VIII.9.1) et toute racine α de ce polynôme appartient à A. Ceci étant
vrai pour p aussi grand que l’on veut, [A : Q] ne peut être fini.
Remarque XI.1.2. L’extension A/Q étant algébrique, d’après la proposition (XI.1.2) A est dénombrable.
On remarque que tout polynôme irréductible unitaire de K[X] est polynôme
minimal de ses racines dans une extension E de K (s’il admet des racines dans E).
Une question, importante dans la suite, est de savoir, lorsque ce polynôme admet
des racines dans E, si elles sont simples.
Proposition XI.1.6. Soient K un corps de caractéristique p, E une extension de K
et α ∈ E un élément algébrique sur K. Pour que α soit racine simple de son
polynôme minimal M α (X) sur K, il faut et il suffit que M α (X) n’appartienne pas
à K[X p ].
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Soit f un K-endomorphisme de E : la restriction de f à R P est une application
de R P dans R P , qui est injective puisque restriction d’un morphisme de corps,
donc surjective puisque le cardinal de R P est fini. On en déduit que f : E → E
est surjective.
Définition XI.1.4. On appelle nombre algébrique tout nombre complexe algébrique sur Q.
Théorème XI.1.3. L’ensemble A des nombres algébriques est un corps et c’est une
extension algébrique de Q, de degré infini.
Démonstration. Un nombre complexe α appartient à A si et seulement si
[Q(α) : Q] < +∞. Soient α et β des éléments de A : alors,
– comme Q(−α) = Q(α), on en déduit que −α appartient à A ;
– comme Q(α + β) ⊆ Q(α, β) et [Q(α, β) : Q] = [Q(α, β) : Q(α)][Q(α) : Q],
on en déduit que [Q(α + β) : Q] < +∞, donc que (α + β) appartient à A.
On démontre de la même manière que (αβ) et α −1 , si α = 0, appartiennent
à A. Autrement dit, A est stable par somme, produit et inverse, c’est donc un
sous-corps de C.
Montrons que le degré de A sur Q ne peut être fini. En effet, le polynôme
X p−1 + X p−2 + . . . + X + 1, où p est un nombre premier, est irréductible sur Q
(cf. exemple VIII.9.1) et toute racine α de ce polynôme appartient à A. Ceci étant
vrai pour p aussi grand que l’on veut, [A : Q] ne peut être fini.
Remarque XI.1.2. L’extension A/Q étant algébrique, d’après la proposition (XI.1.2) A est dénombrable.
On remarque que tout polynôme irréductible unitaire de K[X] est polynôme
minimal de ses racines dans une extension E de K (s’il admet des racines dans E).
Une question, importante dans la suite, est de savoir, lorsque ce polynôme admet
des racines dans E, si elles sont simples.
Proposition XI.1.6. Soient K un corps de caractéristique p, E une extension de K
et α ∈ E un élément algébrique sur K. Pour que α soit racine simple de son
polynôme minimal M α (X) sur K, il faut et il suffit que M α (X) n’appartienne pas
à K[X p ].
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