Chapitre XI. Extensions algébriques – extensions transcendantes
Démonstration. Soient E/K une extension algébrique et A un anneau tel que
K ⊂ A ⊂ E. Tout élément non nul α ∈ A étant algébrique, le sous-anneau
de A engendré par K et α est égal au corps K(α), donc α est inversible dans A.
Réciproquement, supposons que tout anneau A vérifiant K ⊂ A ⊂ E soit un
corps. Pour tout élément α ∈ E on a K ⊂ K[α] ⊂ E, donc K[α] est un corps et
α est inversible dans K[α], i.e. il existe f (x) ∈ K[X] tel que α −1 = f (α). On a
donc αf (α) − 1 = 0, i.e. α est algébrique.
Proposition XI.1.4. Soient E/K une extension et α 1 , . . . , α n ∈ E des éléments
algébriques sur K. Alors K(α 1 , . . . , α n ), le corps obtenu par adjonction à K des
α i , i = 1, ..., n, est une extension finie (donc algébrique) de K.
Réciproquement, toute extension finie de K est de cette forme.
Démonstration. On fait un raisonnement par récurrence sur n. L’extension
K ⊂ K(α 1 ) est finie. Supposons que K(α 1 , . . . , α n−1 ) soit une extension finie de
K : puisque K(α 1 , . . . , α n ) = K(α 1 , . . . , α n−1 )(α n ), K(α 1 , . . . , α n ) est une extension finie de K(α 1 , . . . , α n−1 ), donc de K. La réciproque est évidente.
Théorème XI.1.2. Soient E/K et L/E des extensions. L’extension L/K est finie
(resp. algébrique) si et seulement si E/K et L/E sont des extensions finies (resp.
algébriques).
Démonstration. Le cas des extensions finies a déjà été vu à la proposition (IX.2.1).
Il est clair que si L/K est une extension algébrique, alors E/K et L/E sont
des extensions algébriques. On suppose que L/E et E/K sont des extensions
algébriques. Soit α ∈ L : il existe des éléments de E, a 0 , . . . , a n , tels que
a 0 + a 1 α + . . . + a n α n = 0. Considérons E 0 = K(a 0 , . . . , a n ) ; puisque les a i sont
dans E, ils sont algébriques sur K. Par conséquent, d’après la proposition (XI.1.4),
E 0 /K est une extension finie, donc E 0 (α)/K également, d’où α est algébrique
sur K.
Les extensions algébriques possèdent la propriété suivante, fondamentale pour
la théorie de Galois.
Proposition XI.1.5. Si E/K est une extension algébrique, tout K-endomorphisme
de E est un K-automorphisme.
Démonstration. Pour tout polynôme P (X) ∈ K[X], on note R P l’ensemble des
racines de P (X) dans E. L’extension E/K étant algébrique, on a
E =
P (X)∈K[X]
R P .
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Démonstration. Soient E/K une extension algébrique et A un anneau tel que
K ⊂ A ⊂ E. Tout élément non nul α ∈ A étant algébrique, le sous-anneau
de A engendré par K et α est égal au corps K(α), donc α est inversible dans A.
Réciproquement, supposons que tout anneau A vérifiant K ⊂ A ⊂ E soit un
corps. Pour tout élément α ∈ E on a K ⊂ K[α] ⊂ E, donc K[α] est un corps et
α est inversible dans K[α], i.e. il existe f (x) ∈ K[X] tel que α −1 = f (α). On a
donc αf (α) − 1 = 0, i.e. α est algébrique.
Proposition XI.1.4. Soient E/K une extension et α 1 , . . . , α n ∈ E des éléments
algébriques sur K. Alors K(α 1 , . . . , α n ), le corps obtenu par adjonction à K des
α i , i = 1, ..., n, est une extension finie (donc algébrique) de K.
Réciproquement, toute extension finie de K est de cette forme.
Démonstration. On fait un raisonnement par récurrence sur n. L’extension
K ⊂ K(α 1 ) est finie. Supposons que K(α 1 , . . . , α n−1 ) soit une extension finie de
K : puisque K(α 1 , . . . , α n ) = K(α 1 , . . . , α n−1 )(α n ), K(α 1 , . . . , α n ) est une extension finie de K(α 1 , . . . , α n−1 ), donc de K. La réciproque est évidente.
Théorème XI.1.2. Soient E/K et L/E des extensions. L’extension L/K est finie
(resp. algébrique) si et seulement si E/K et L/E sont des extensions finies (resp.
algébriques).
Démonstration. Le cas des extensions finies a déjà été vu à la proposition (IX.2.1).
Il est clair que si L/K est une extension algébrique, alors E/K et L/E sont
des extensions algébriques. On suppose que L/E et E/K sont des extensions
algébriques. Soit α ∈ L : il existe des éléments de E, a 0 , . . . , a n , tels que
a 0 + a 1 α + . . . + a n α n = 0. Considérons E 0 = K(a 0 , . . . , a n ) ; puisque les a i sont
dans E, ils sont algébriques sur K. Par conséquent, d’après la proposition (XI.1.4),
E 0 /K est une extension finie, donc E 0 (α)/K également, d’où α est algébrique
sur K.
Les extensions algébriques possèdent la propriété suivante, fondamentale pour
la théorie de Galois.
Proposition XI.1.5. Si E/K est une extension algébrique, tout K-endomorphisme
de E est un K-automorphisme.
Démonstration. Pour tout polynôme P (X) ∈ K[X], on note R P l’ensemble des
racines de P (X) dans E. L’extension E/K étant algébrique, on a
E =
P (X)∈K[X]
R P .
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