XI.1. Extensions algébriques
Exercice XI.2.
1. Soient E/K une extension de degré n et x un élément de E. Montrer que
le degré du polynôme minimal de x sur K divise n.
2. Soient K un corps, E/K une extension et x un élément de E algébrique de
degré impair sur K. Montrer que x 2 est algébrique sur K et que K(x 2 ) = K(x).
3. Soient K un corps, E/K une extension, α et β des éléments de E algébriques
sur K, M α (X) et M β (X) leurs polynômes minimaux respectifs. Montrer que si
les degrés de M α (X) et M β (X) sont étrangers, alors M β (X) est irréductible dans
K(α)[X].
Définition XI.1.3. Une extension E/K est algébrique si tout élément de E est
algébrique sur K.
Proposition XI.1.1. Une extension finie est algébrique.
Démonstration. Soient E/K une extension finie et α ∈ E ; puisque
dim K (K(α)) dim K (E), il existe un entier n tel que 1, α, . . . , α n soient linéairement dépendants. Il existe donc des éléments a 0 , . . . , a n de K tels que
a 0 + . . . + a n α n = 0. Autrement dit, il existe un polynôme P (X) ∈ K[X] tel
que P (α) = 0.
Attention. La réciproque est fausse (cf. théorème XI.1.3 ci-dessous).
Proposition XI.1.2. Soient E/K une extension algébrique. Alors
Card(E) Card(K[X] × N).
Démonstration. Soit Γ = {(P, α) | P ∈ K[X], α ∈ E et P (α) = 0}. L’application
Γ −→ K[X] définie par (P, α) → P est telle que l’image réciproque de tout
élément de K[X] est finie, puisque tout polynôme n’a qu’un nombre fini de racines.
Donc Card(Γ) Card(K[X] × N). L’application E → Γ définie par α → (P, α),
où P est le polynôme minimal de α, est injective. Donc Card(E) Card(Γ).
Remarque XI.1.1. Puisque R et C ont la puissance du continu et que Q est dénombrable (donc aussi Q[X]), on en déduit que R et C ne sont pas des extensions
algébriques de Q (cf. aussi l’appendice en fin de chapitre).
Proposition XI.1.3. Pour qu’une extension E/K soit algébrique, il faut et il suffit
que tout anneau A, tel que K ⊂ A ⊂ E, soit un corps.
273
Exercice XI.2.
1. Soient E/K une extension de degré n et x un élément de E. Montrer que
le degré du polynôme minimal de x sur K divise n.
2. Soient K un corps, E/K une extension et x un élément de E algébrique de
degré impair sur K. Montrer que x 2 est algébrique sur K et que K(x 2 ) = K(x).
3. Soient K un corps, E/K une extension, α et β des éléments de E algébriques
sur K, M α (X) et M β (X) leurs polynômes minimaux respectifs. Montrer que si
les degrés de M α (X) et M β (X) sont étrangers, alors M β (X) est irréductible dans
K(α)[X].
Définition XI.1.3. Une extension E/K est algébrique si tout élément de E est
algébrique sur K.
Proposition XI.1.1. Une extension finie est algébrique.
Démonstration. Soient E/K une extension finie et α ∈ E ; puisque
dim K (K(α)) dim K (E), il existe un entier n tel que 1, α, . . . , α n soient linéairement dépendants. Il existe donc des éléments a 0 , . . . , a n de K tels que
a 0 + . . . + a n α n = 0. Autrement dit, il existe un polynôme P (X) ∈ K[X] tel
que P (α) = 0.
Attention. La réciproque est fausse (cf. théorème XI.1.3 ci-dessous).
Proposition XI.1.2. Soient E/K une extension algébrique. Alors
Card(E) Card(K[X] × N).
Démonstration. Soit Γ = {(P, α) | P ∈ K[X], α ∈ E et P (α) = 0}. L’application
Γ −→ K[X] définie par (P, α) → P est telle que l’image réciproque de tout
élément de K[X] est finie, puisque tout polynôme n’a qu’un nombre fini de racines.
Donc Card(Γ) Card(K[X] × N). L’application E → Γ définie par α → (P, α),
où P est le polynôme minimal de α, est injective. Donc Card(E) Card(Γ).
Remarque XI.1.1. Puisque R et C ont la puissance du continu et que Q est dénombrable (donc aussi Q[X]), on en déduit que R et C ne sont pas des extensions
algébriques de Q (cf. aussi l’appendice en fin de chapitre).
Proposition XI.1.3. Pour qu’une extension E/K soit algébrique, il faut et il suffit
que tout anneau A, tel que K ⊂ A ⊂ E, soit un corps.
273