Chapitre XI. Extensions algébriques – extensions transcendantes
est algébrique sur K est équivalent à dire que le noyau Ker(ϕ) de ϕ est non nul,
ou encore que les éléments α n (n ∈ N) sont linéairement dépendants sur K.
Théorème XI.1.1. Soient E/K une extension et α ∈ E un élément algébrique
sur K.
(i) Il existe un unique polynôme irréductible unitaire M α (X) ∈ K[X] tel que
M α (α) = 0.
(ii) Tout polynôme P (X) ∈ K[X] tel que P (α) = 0 est divisible par M α (X).
(iii) Le corps K(α) est isomorphe à K[X]/(M α (X)) et [K(α) : K] est égal au
degré du polynôme M α (X). En posant ce degré égal à n, les éléments 1, α, . . . , α n−1
forment une base du K-espace vectoriel K(α).
Démonstration. On a Im(ϕ) K[X]/Ker(ϕ) ; puisque l’anneau K[X] est principal, l’idéal Ker(ϕ) est engendré par un polynôme P (X). Puisque Im(ϕ) est
contenu dans E, c’est un anneau intègre, par conséquent l’idéal (P (X)) est premier. Il est donc engendré par un polynôme irréductible, qui est unique si on le
suppose unitaire. Soit M α (X) ce polynôme. Puisque M α (X) est irréductible et
K[X] est principal, l’idéal Ker(ϕ) est maximal, donc Im(ϕ) est un corps contenant K et α, Im(ϕ) = K(α). On a
dim K (K[X]/(M α (X))) = deg(M α (X))
et l’isomorphisme
K[X]/(M α (X)) −→ K(α)
envoie la base 1, X, . . . , X
n−1 de K[X]/(M α (X)) sur 1, α, . . . , α n−1 .
Définitions XI.1.2. Avec les notations ci-dessus, le polynôme M α (X) est appelé
le polynôme minimal de α sur K. L’entier deg(M α (X)) = [K(α) : K] est
appelé le degré de α sur K.
Exercice XI.1. Soient E/K une extension et un élément α de E. Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i) α est algébrique sur K.
(ii) Le corps K(α) est isomorphe à K[α].
(iii) K[α] est un K-espace vectoriel de dimension finie.
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est algébrique sur K est équivalent à dire que le noyau Ker(ϕ) de ϕ est non nul,
ou encore que les éléments α n (n ∈ N) sont linéairement dépendants sur K.
Théorème XI.1.1. Soient E/K une extension et α ∈ E un élément algébrique
sur K.
(i) Il existe un unique polynôme irréductible unitaire M α (X) ∈ K[X] tel que
M α (α) = 0.
(ii) Tout polynôme P (X) ∈ K[X] tel que P (α) = 0 est divisible par M α (X).
(iii) Le corps K(α) est isomorphe à K[X]/(M α (X)) et [K(α) : K] est égal au
degré du polynôme M α (X). En posant ce degré égal à n, les éléments 1, α, . . . , α n−1
forment une base du K-espace vectoriel K(α).
Démonstration. On a Im(ϕ) K[X]/Ker(ϕ) ; puisque l’anneau K[X] est principal, l’idéal Ker(ϕ) est engendré par un polynôme P (X). Puisque Im(ϕ) est
contenu dans E, c’est un anneau intègre, par conséquent l’idéal (P (X)) est premier. Il est donc engendré par un polynôme irréductible, qui est unique si on le
suppose unitaire. Soit M α (X) ce polynôme. Puisque M α (X) est irréductible et
K[X] est principal, l’idéal Ker(ϕ) est maximal, donc Im(ϕ) est un corps contenant K et α, Im(ϕ) = K(α). On a
dim K (K[X]/(M α (X))) = deg(M α (X))
et l’isomorphisme
K[X]/(M α (X)) −→ K(α)
envoie la base 1, X, . . . , X
n−1 de K[X]/(M α (X)) sur 1, α, . . . , α n−1 .
Définitions XI.1.2. Avec les notations ci-dessus, le polynôme M α (X) est appelé
le polynôme minimal de α sur K. L’entier deg(M α (X)) = [K(α) : K] est
appelé le degré de α sur K.
Exercice XI.1. Soient E/K une extension et un élément α de E. Montrer que les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i) α est algébrique sur K.
(ii) Le corps K(α) est isomorphe à K[α].
(iii) K[α] est un K-espace vectoriel de dimension finie.
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