XI
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES
EXTENSIONS TRANSCENDANTES
Comme cela a été rappelé dans l’introduction du chapitre IX, l’un des objectifs
de la théorie des corps est la résolution des équations polynomiales. Inversement,
on peut se poser la question suivante : étant donnée une extension L/K, tout
élément de L est-il racine d’un polynôme à coefficients dans K ? Si la réponse
est affirmative, on dit que l’extension L/K est algébrique. C’est par exemple le
cas de l’extension C/R. Par contre, ce n’est pas le cas de l’extension R/Q puisque
Liouville en 1844, Hermite en 1873, Lindemann en 1882 ont, respectivement, montré que les nombres réels
n>0 10 −n! , e, π, sont irrationnels (i.e. n’appartiennent
pas à Q) et sont transcendants sur Q (i.e. ne peuvent être racine d’un polynôme
à coefficients dans Q). On dit que l’extension R/Q est transcendante.
D’après ce qui précède, on remarque que l’extension C/Q est une extension
algébrique d’une extension transcendante de Q.
L’objet de ce chapitre est d’introduire et d’étudier les extensions algébriques
ou transcendantes et de montrer que la remarque ci-dessus correspond à une
situation générale.
XI.1. Extensions algébriques
Définition XI.1.1. Soit E/K une extension. Un élément α de E est algébrique
sur K s’il existe P (X) ∈ K[X] tel que P (α) = 0.
Considérons K(α), l’extension de K obtenue par adjonction de α à K, et le
morphisme d’anneaux ϕ : K[X] −→ K(α) défini par ϕ(X) = α. Alors, dire que α
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES
EXTENSIONS TRANSCENDANTES
Comme cela a été rappelé dans l’introduction du chapitre IX, l’un des objectifs
de la théorie des corps est la résolution des équations polynomiales. Inversement,
on peut se poser la question suivante : étant donnée une extension L/K, tout
élément de L est-il racine d’un polynôme à coefficients dans K ? Si la réponse
est affirmative, on dit que l’extension L/K est algébrique. C’est par exemple le
cas de l’extension C/R. Par contre, ce n’est pas le cas de l’extension R/Q puisque
Liouville en 1844, Hermite en 1873, Lindemann en 1882 ont, respectivement, montré que les nombres réels
n>0 10 −n! , e, π, sont irrationnels (i.e. n’appartiennent
pas à Q) et sont transcendants sur Q (i.e. ne peuvent être racine d’un polynôme
à coefficients dans Q). On dit que l’extension R/Q est transcendante.
D’après ce qui précède, on remarque que l’extension C/Q est une extension
algébrique d’une extension transcendante de Q.
L’objet de ce chapitre est d’introduire et d’étudier les extensions algébriques
ou transcendantes et de montrer que la remarque ci-dessus correspond à une
situation générale.
XI.1. Extensions algébriques
Définition XI.1.1. Soit E/K une extension. Un élément α de E est algébrique
sur K s’il existe P (X) ∈ K[X] tel que P (α) = 0.
Considérons K(α), l’extension de K obtenue par adjonction de α à K, et le
morphisme d’anneaux ϕ : K[X] −→ K(α) défini par ϕ(X) = α. Alors, dire que α